Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Сборник задач. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

										3		n				2n 1 ;
4)	sin 1 ;					5)	1			3			;	6)
4)	sin 1 ;					5)	1			n			;	6)
	n 1	n					n 1			n					n 1	n!
		n 4							1							( 1)	n
7)		n 4			;	8)			1			;		9)		( 1)		;
7)					;	8)						;		9)		n4 n		;
	n 1 n3 n2 1						n 2 nln(n)								n 1	n4 n
		( 1)	n					( 1)		n	(4n 3)					( 1)	n	3	n .
10)		( 1)		;		11)		( 1)			(4n 3)			12)		( 1)
10)				;		11)								12)
	n 2 nln3(n)						n 1				5n				n 1	n 2

2. Найти область сходимости ряда:

1)n! ;n 1

(x 2)n

4)n 1 n n 1 ;

;

3 (x

;

n 1 n5n

n 1

n n 1

2n 1

;

n 0 2n 1

n 1

		(x 2)	n	n!					(x 1)	n
7)		(x 2)		n!	;	8) n!(x 3)n ;		9)	(x 1)		.
7)		nn			;	8) n!(x 3)n ;		9)			.
	n 1	nn				n 1		n 1 nln (n 2)
3. Вычислить приближенно данное выражение с указанной точно-
стью :
1)	3 e , = 0,0001;					2) 1 3 30 , = 0,001;	3)	3 84 , = 0,0001;
4)	cos 20 , = 0,001;					5) ln 3 , = 0,0001;	6)	arctg ( / 10) , = 0,001.

4.С помощью рядов вычислить приближенное значение интеграла

сзаданной точностью :

	1			0,4	x ln (1 x3 )dx , = 0,001;
1)	cos 5 x dx , = 0,0001;		2)		x ln (1 x3 )dx , = 0,001;
	0			0
	1			0,5	1	sin (x3 )dx , = 0,0001;
3)	3 x cos xdx , = 0,001;		4)		1
3)	3 x cos xdx , = 0,001;		4)		2
	0			0	x
	0,5	1 x3 dx , = 0,0001;		0,9
5)		1 x3 dx , = 0,0001;	6)		xarctg x dx , = 0,001;
	0			0

	1				1
7)	e x2 3dx , = 0,0001;			8)	e x2	4dx , = 0,001.
	0				0
5. Разложить данную функцию				y f (x)		в ряд Тейлора в окрестно-
сти точки x0, используя табличные разложения:
1)	y x (2 x), x	0 ;		2)	y cos2 x, x		0 ;
	0					0
3)	y ln (5x 3), x		1;	4)	y 1 / 3 x, x		3 .
	0					0

Указать область сходимости полученного степенного ряда.

6. Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

1)	y arcsin y x ,					y(0) 1 2 ;
2)	xy	y		xy	0 ,	y(0)		0 ;
							1, y (0)
3)	y y2		ex ,		y(0) 0 .

11. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (х; у), первое из которых х называется его дей-

ствительной частью, а второе число у – мнимой частью. Обозначе-

ние: z = х + iy, х = Re z, у = Im z. Символ i называется мнимой единицей (i2 1) .

Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым, если

y = 0, то число х + i 0 = х отождествляется с действительным числом, а это означает, что множество R действительных чисел является под-

множеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R С.

Два комплексных числа z1 х1 iy1 и z2 х2 iy2 называются рав-

ными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и

равны их мнимые части, т. е. z1 z2 х1 х2 и y1 y2 .

Два комплексных числа z = х + iy и z = х – iy, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Всякое комплексное число z = х + iy можно изобразить точкой М(х; у) плоскости Оху такой, что х = Re z, у = Im z.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (ее также обозначают С). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Комплексное число z = х + iy можно изображать и с помощью ра- диуса-вектора r = ОМ = (х; у).

Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается z или r. Модуль определяется

по формуле r	z	x2 y2 .
по формуле r	z	x2 y2 .
		83

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого числа, обозначается Arg z.

Аргумент комплексного числа z 0 – величина многозначная: Arg z = arg z + 2 k, k = 0, ± 1, ± 2, ..., где arg z = φ – главное значение

аргумента, заключенное в промежутке (– ; ].Аргумент комплексного числа z = 0 + i0 не определен.

Замечание. В качестве значения аргумента можно использовать

величину, принадлежащую промежутку [0; 2 ).

Запись числа z в виде z = х + iy называют алгебраической формой комплексного числа.

	Запись числа z в виде z r(cos i sin )	называется тригономет-
рической формой.			x			y
	Аргумент φ определяется из формул	cos		,	sin		, где
			r			r

r	x2 y2 .

Аргумент z можно найти, используя формулу tg xy ; так как

– < arg z , то

, при x 0,

arctg

при x 0,

y 0,

при x 0,

y 0,

φ = argz =

arctg

, при x 0, y 0,

при x 0,

y 0,

при x 0, y 0.

не определено,

ei arg z

Запись числа z в виде

z rei

или z

называют показатель-

ной (или экспоненциальной) формой комплексного числа.

Задачи

1. Выполнить указанные действия, представить результат в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:

1)	(3 2i)(1 4i)	, 2 i	3 3 ;	2)	(5 7i)(2 3i)	, 3 i 2 4 ;
	(4 5i)				(2 4i)
3)	(4 3i)(2 2i)	, (1 i3)5 ;		4)	(2 3i)(7 4i)	, 2 7i 4 ;
	(1 7i)				(2 4i)
5)	(3 2i)(1 4i)	, 2 i	3 3 .
	(4 5i)

2. Найти все значения корня и изобразить их на комплексной плоскости, представить результат в алгебраической, тригонометрической и

показательной формах:
1)	3 2 2i ;	2)	4 2 3i ;	3) 3 1 8i ;
4)	5 2 3i ;	5)	4 4 6i .

3. Дать геометрическое описание множества всех точек комплекс-

ной плоскости, удовлетворяющих неравенствам:
1)	\|Imz\| < 1, 0 < Rez < 1;		2)	\|z – i\| > 1;	3) 0 < \|z + i\| < 2;
4)	1 < \|z – 1\| < 3;		5)	0 < argz < /4.
4. Вычислить значения функции (ответ дать в алгебраической
форме):		2) Ln(i2i),
1)	Ln (3½ + i),			3) cos (1 – i),
4) cos (–3 – i),		5) sh (i – 2).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основной

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-прес, 2003. – 288 с. ил.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Часть 2. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-прес, 2003. – 256 с. ил.

3.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – 5-е изд. – М.: Айрис-прес,

2006. – 576 с. ил. – (Высшее образование).

Дополнительный

4.Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2001. 471 с.

5.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб.

пособие для вузов. – Серия «Учебное пособие для вузов. Специальная литература». – СПб.: Изд-во «Лань»; изд-во «Специальная литература», 2000. –

448с.

6.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1987.

7.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука,

1987.

8.Щипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1985.

9.Математика для гуманитариев: учеб. пособие / С.В. Клишина,

Г.Н. Миренкова, Г.А. Анохина, Н.А. Гулюкина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. – 228 с.

Комиссаров Валентин Владиславович Комиссарова Наталья Васильевна

МАТЕМАТИКА

СБОРНИК ЗАДАЧ

Учебное пособие

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Н.В. Гаврилова

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

Подписано в печать 12.07.2016. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 5,11. Печ. л. 5,5. Изд. 165. Заказ № 1144

Цена договорная

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]