Математика. Сборник задач. Учебное пособие

Найти интегралы от дробно-рациональных функций:

41)

xdx

;

42)

5x 2dx ;

x2 2x

1

x3 x

43)

x3dx

;

44)

x 1

dx ;

x4

2x3 x2

x2

3x

2

45)

x3

12x 7

dx ;

46)

x3 2

dx ;

x3 x2

x2

5x

6

47)

x3 12

dx ;

48)

x3 6

dx .

x2

4x

5

x2

5x

6

Найти интегралы от тригонометрических функций:

49)

1

dx ;

50)

1

dx ;

3cos x 4sin x

2sin x cos x 2

51)

1

dx ;

52)

1

dx ;

4cos x 3sin x 5

1 5sin2 x

53)

sin 2x

dx ;

54)

1

dx ;

1

2sin x sin 2x

4cos2 x

55)

(sin x sin3 x)

dx ;

56)

(cos3 x cos5 x)

dx

;

cos 2x

sin2 x sin4 x

57)

sin2 (x / 4)cos2 (x / 4) dx ;

58)

sin(3x)sin xdx ;

59)

cos5 x dx ;

60)

sin3 x cos2 x dx ;

sin x

61)

sin4 x dx ;

62)

cos5 x dx .

2. Вычислить определенные интегралы:

/2

1

x

1

1)

sin3 2x dx ;

2)

dx ;

3)

x2 cos 2x dx ;

2

4

0

0 x

0

2

x

1

2

4)

dx ;

5)

x ln(x2

1)dx ;

6)

(ex 3)exdx ;

(x 1)3

0

0

1

5

dx

1

7)

xsin 2xdx ;

8)

;

9) xarctg(2x)dx ;

x ln x

2

2

1 2

3

x

2

10)

dx ;

11)

4xe 2xdx .

4

1 x

1

1

1) x y = 4, y = x, x = 4;

2)

y 3x2 2x 7, y x 13 ;

3) 3y x2 6x , y = x;

4)

x y 4 , y = 0, x = 1, x = 4;

5) y = – x2 + 3x + 7, y = 2x + 1;

6)

y x2 4x , y = x + 4;

7)

y2 4 x , x + 3у = 0;

8)

y x2 , 4 y x2 ; x 2 ;

9)

y x2 6x 5,

y 2x 7 ;

10)

y x2 3x 7, y 2x 1;

11)

y 3x2 2x 7,

y x 13 .

фигуры, ограниченной линиями y xex ;

y 0;

x 1.

7.

Найти длину кривой y ln sin x

для x / 4; / 2 .

8.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) 8cos3 ,

3, ( 3) ;

2)

2cos 4 ,

1,

( 1).

9.

Вычислить длину дуги кривой:

1) 2(1 cos ) ;

2)

y2

x3, 0 x 4 / 3 .

10.

Вычислить

площадь поверхности вращения

дуги вокруг

оси OX:

y2

1)

y sin x, 0 x ;

2)

2x, 0 x 1,5 .

1)

y 3 x2 , y x2 1 ;

2)

y (2 x) x, y 0 ;

3)

y 2x , y x 1 ;

4)

( y 1)2 x, x 1.

x

5

dx

x

1)

dx ;

2)

;

3)

dx ;

(x 1)3

0

1 x ln x

1 x2 x 1

2 /

1

dx

1

dx

4)

xsin x dx ;

5)

cos

;

6)

;

3

2

x

2

x

4

1

0

x

0 x

xdx

ln x

е

dx

7)

;

8)

3

dx

;

9)

;

(x2

5)3

x

3

x

2

1

1 xln

2

x3dx

10)

.

4 x2

0

n

d n z d(d n 1z)

dx

dy

z .

x

y

Производная сложной функции z = f(x; y), в случае если x = x(t),

y = y(t):

dz

z

dx

z

dy .

dt

x

dt

y

dt

Производная функции, заданной неявно F(x; y; z) = 0:

z

F

z

Fy

x

x

,

, Fz 0 .

Fz

y

Fz

Градиент функции w = f(x; y; z) в точке M (x0; y0;

z0 ) :

grad f (x; y; z)

M (x ;

y ; z )

f

i

x

0 0 0

M (x ; y ; z )

0

0

0

f

f

y

j

z

k .

M (x ;

y ;

z

)

M (x ; y ; z )

0 0 0

0

0

0

f

grad f (x; y; z)

M (x ; y ; z ) a

0 0 0

.

a

M (x

; y ; z

0

)

a

0

0

Уравнение нормали

к поверхности

F(x; y; z) = 0 в точке

M (x0; y0; z0 ) :

x x0

y y0

z z0

.

Fx (x0; y0; z0 )

Fy (x0; y0; z0 )

Fz (x0; y0; z0 )

производные в этой точке равны нулю: fx (x0;

y0 ) 0 , f y (x0; y0 ) 0 .

Точка M (x0; y0 ) называется стационарной.

Стационарные точки и

A B

AC B

2

.

A fxx (x0; y0 ) ,

B fxy (x0; y0 ) ,

C f yy (x0; y0 ) ,

B C

Тогда: 1) если > 0, то функция f(x; y) в точке M (x0; y0 )

имеет экс-

тремум: максимум, если A < 0; минимум, если A > 0; 2) если < 0, то

функция f(x; y) в точке M (x0; y0 )

экстремума не имеет. В случае если

A = 0, требуются дополнительные исследования.

1)

z ln (x2 y2 R2 ), R 0 ;

2)

z x arccos( y) ;

3)

z ysin x ;

4)

z

1

(x y)2 ;

5)

z

1

;

6)

z

x2 4 4 y2 ;

y x

7)

u (x; y; z) arccos(x / 2) arcsin ( y / 2) arctg (z) ;

8)

u(x; y; z)

1

x2

y2

z2

;

9)

u(x; y; z)

z

x2

y2

;

a2

b2

c2

a2

b2

1) z = (5x2y – y3 + 7)3;

2) v = arctg(u/t);

3) z(x, y) = cos(x2 + y2) – ln(xy);

4) z(x, y) = exy + y2cos(x);

5) z(x, y) = arctg(x2 + y2);

6) z(x, y) 2x –cos (x) sin( y) .

3.

Найти частные производные второго порядка:

2 z

,

2 z

,

2 z

:

x2

y

2

x y

1) z(x, y) = cos(x2 + y2) – ln(xy);

2) z(x, y) = arctg(x2 + y2).

4.

Найти производную функции u xz2

x3 y в точке M0 (2; 2; 4)

по направлению внешней нормали n к поверхности S,

заданной урав-

нением x2 – y2 – 3z + 12 = 0.

5.

Найти угол между градиентами

функций u f (x,

y, z) и

xz2

, v 6 6x3 6 6 y3 2z3 ,

1

1

1)

u

M0

;

; 1

;

y

6

6

x3 y2

3

4

1

1

2)

u

, v

,

M0 1; 2;

;

z

x

y

6z

6

6

6

2

yz2

1

1

1

3)

u

, v

,

M0

;

;

;

2x

2 y

3z

x

2

2

3

1

4 2

2

1

1

1

4) u

, v

, M0

2;

;

.

x2 yz

x

9 y

3z

3

6

6. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхно-

сти F(x, y, z) 0 в заданной на ней точке M0 x;

y; z :

1)

z x2 2xy 3y2 1;

2)

z x2 x y 3y2 ;

3)

z x2 xy y2 ;

4)

z 2x2 xy 4y2 ;

5)

z x2 2xy 3y2 .

10. Вычислить приближенное значение:

1) 3 (3,98)2 (3,03)2 2 ;

2) 1,083,97 ;

3) 1,942 e0,12 ;

4) 22,95 100,09 ;

5) 3,022,98 ;

6) sin29 46 .

11. Изменить порядок интегрирования:

1

0

0

0

1) dy

f (x, y) dx dy

f (x, y) dx ;

2

2 y

1

y

1

y

2

2 y

2) dy

f (x, y)dx dy

f (x, y)dx ;

0

0

1

0

1

3 y

2 2 y

3) dy

f (x, y) dx dy f (x, y) dx ;

0

0

1

0

1

0

2

0

4) dy f (x, y) dx dy

f (x, y) dx ;

0

y

1

2 y2

1

0

0

0

5) dy

f (x, y) dx dy f (x, y) dx ;

2

(2 y)

1

3 y

1

x2

2

2 x2

6) dx f (x, y) dy dx

f (x, y) dy .

0

0

1

0

12. Вычислить площадь фигуры,

ограниченной данными линия-

ми: x2 y2 2x 0, x2 y2 8x 0,

y

x

, x 0.

3

помощью тройного интеграла: x y 8, y

4x, z 3y, z 0.