Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Сборник задач. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Формулы дифференцирования
1)	(c) 0 ;
2)	(u		1	u	,	в частности,	u		1			;
			1
		) u						2		u	u
								2		u

3)( u ) u ln u , в частности, (eu ) euu

4)(loga u) u ln1 a u , в частности, (ln u) u1 u ;

5)(sin u) cosu u ;

6)(cosu) sin u u ;

7)(tgu) cos12 u u ;

8)(ctg u) sin12 u u ;

(arcsin u)

u ;

1 u2

10)

(arccosu)

u ;

1 u2

11)

(arctg u)

u ;

1 u2

12)

(arcctg u)

u .

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных

функций:

1) ex 1

...

... , x R.

x2n 1

2) sin x x

... ( 1)n

... ,

x R.

(2n 1)!

3) cos x 1

... ( 1)n

x2n

..., x R.

(2n)!

arctg x

... ( 1)n

x2n 1

...,

2n 1

ln(1 x) x

... ( 1)n 1

...,

1 x 1.

( 1)

( 1) ... ( n 1)

(1 x)

1 x

...

... ,

Задачи

1. Найти производные указанных функций:						3		9
1)	y x3 x2 / 5 2x 4 ;		2)	y	x	3		9			;
1)	y x3 x2 / 5 2x 4 ;		2)	y	x	x					;
					1	x	2		x2
3)	y x3 x 3sin1 ;		4)	y	1		2
3)	y x3 x 3sin1 ;		4)	y	3 x2		x5
	y 5 2x 3 ctg x ;				3 x2		x5
5)	y 5 2x 3 ctg x ;		6)	y tg x ctg x ;
	4
7)	y 10arctg x 7ex ;		8)	y x3 log2 x ;
9)	y (x2 x 1)(x2	x 1) ;	10)	f (t) 1 et ;
					1 et
11)	z ( y 1) arcsin y .
2. Найти производные указанных порядков:
1)	y tg3x, y ? ;	2) y xcos x,		y ? ;			3)			y

7x ;

ln2 x, y ? ;

4) y xln x, y ? ; 5) y e2x , y(V ) ? .

3. Найти производную и дифференциал заданных функций:

		5		5			4x		2		3x 5
1)	y 3x4	5	2	;	2)	y	4x				3x 5		;
		4 x									x
3)	y 3 x 5 ;				4)	y arccos 2x							1 4x2 ;
5)	y x2 tg x 1 10 ;				6)	y ln					x2	;
5)	y x2 tg x 1 10 ;				6)	y ln		1		5x		;
								1		5x

y 2tg x xsin 2x ;

63 2

2x ;

3 2 2x

y 3 (4 2x2 )5 ;

10)

x arctg x ;

11)

y e3x 2x tg3x ;

12)

y sin (cos x) ;

13)

y arctg (1/x) ;

14)

y x2 sin 3x ;

15)

y cos 2xln(x2 1) ;

16)

1 tg x

;

1 tg x

y sin2 (3x) ;

17)

18)

y cos2 (x 2) x3 ln x ;

19)

y 10x tg (2x) 3 ;

20)

y e2x sin x2 ;

21)

y arctg (2x 3)e3x ;

22)

y e x2

e2x ;

23)

y x2 7

x 1

x sin x 10

24)

y (x 5)lg x ;

25)

y x5ctg (7x 2) ;

26)

y arcsin(2x x3) ;

27)

y x2 7

x 1

x sin x 10 ;

28)

y 3x 1 sin x ;

29)

y arccos(x2 1) ;

30)

x cos x ;

31)

y sin x2

sin3 2x ;

32)

y ln (1 tg x) ;

33)

y 2cos3(x) ;

34)

y arcsin

x 5 ;

35)

y 5 2x xsin x2 ;

36)

y ln

1 5x

;

37)

y ln 3

sin6 x

;

38)

y e x 1

;

39)

y e x cos

2x ;

x 2

2 x

tg(t

)

40)

y x

;

41)

;

2 x

y 1 sin2 t

42)x arcsin(t2 3) ;y arccos 2t

4. Найти предел, используя

1) lim x ctg 2x ; x 0

lim

arcsin (4x)

;

x 0

5 5e 3x

lim

x2 x 1

;

ln(1 x2 )

lim

ln (2x 1) ;

3 2x 3

lim

;

x 1 ln x

11)

lim

x3 4x2 4x

;

x3 12x

x 2

13)

lim

1/ x

;

x 1

x 0

15)

lim

e2x x 1/ x ;

x 0

17)

lim

ctg (x) 1/ln(x) .

x 0

	x 0,5sin t								.
43)									.
y cos3 (0,5t2 )

правило Лопиталя:
2)	lim		ln (x 5)					;
	x			4 x 3
4)		1					1
	lim								;
	lim					ex		1	;
	x 0	x				ex		1
6)	lim		ln (x 7)					;
	x			3 x 3
8)	lim			3 x ln x ;
	x 0
10)	lim		arctg (4x)					;
	x 0		2 2e 2x
12)	lim				1			1		;
					1			1
								x
	x 0 sin(x)							x
14)	lim		sin(x) tg(x) ;
	x
	2
16)	lim x3/1 ln(x) ;
	x 0

5. Средствами дифференциального исчисления найти экстремумы, интервалы монотонности и точки перегиба функции:

1)y = x3 – 9x2 + 24x – 16;

2)y = x3 – 11x2 + 39x – 45;

3)y = x3 + 6x2 + 9x + 4;

4)y = x3 + x2 – 5x + 3;

5)y = 1/(1 + x2);

6)y = x – ln(x + 1); 7) y e x2 .

6. Найти уравнение касательной и нормали в точке перегиба функ-

ции y = x3 – 3x2 + 3x – 5.

7. Найти угол между касательными к графику функции

f (x) x3 4x2

3x 1 ,

проведенными в точках с абсциссами

x 0

x1 1.

8. Найти асимптоты функции:

;

3)2

;

2 4x2

;

4(x 1)

1 4x2

x3 1

x2 16

;

3 x2

;

4x2

9. Вычислить приближенное значение:

sin 31 ;

2) 4 15 ;

4 256,96 ; 4)

5 32,85 .

10. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее схематический график:

f (x)

;

f (x)

2x2

;

4(x

4x2 1

f (x)

2x 1

;

f (x)

(x 1)3

;

2x2

f (x) (x 1)2 e

;

f (x)

x 1

arctg (x) .

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x4 2x2 3 на интервале [ 2; 3] .

12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

y2x2 20x 3 на интервале [ 1; 9] .

13.Представить функцию y = f(x) в виде многочлена пятой степени относительно двучлена x – x0:

1)	y 3 x , x0 = 1;				2)	y ln(5x 3) , x0 = –2/5;
		x	, x0	= 2;		y	1	, x0	= 1.
3)	y sin				4)
							x)2
		4				(3

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СВОЙСТВА

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a; b) , если для любого x (a; b) выполняется равенство

F (x) f (x) .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множе-

ство первообразных F(x) + С, где С – произвольное число, и обознача-

ется: f (x)dx F(x) C .

Свойства неопределенного интеграла:

1)	d f (x)dx f (x)dx, f (x)dx f (x) ;
2)	dF(x) F(x) C ;
3)	af (x)dx a f (x)dx,	a const 0 ;

4)( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx ;

5)Если f (x)dx F(x) C , то и f (u)du F(u) C, u (x) .

Таблица неопределенных интегралов

1) 0dx C ;

x 1

2) x dx 1 C, 1 dx x C ; 3) dxx ln x C ;

4) axdx	ax	C ;
	ln a

5)exdx ex C ;

6)sin xdx cos x C ;

7)cos xdx sin x C ;

8)tg xdx ln cos x C ;

9)ctg xdx ln sin x C ;

10)cos12 x dx tg x C ;

11)sin12 x dx ctg x C ;

12)sin1 x dx ln tg 2x C ;

13)

C ;

cos x

14)

arcsin

C ;

x2 a2

C ;

15)

x2 a2

16.

1 arctg

C ;

a2 x2

17)

a x

C ;

a2 x2

a x

18.

a2 x2 dx

a2 x2

a2 arcsin

C ;

19)

x2 a2

a2 ln

x2 a2

C .

Формула интегрирования по частям: udv u v vdu .

Формула Ньютона–Лейбница: f (x)dx F(x) ba F(b) F(a) .

Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми f1(x) и f2(x), прямыми x = a, x = b при условии f1(x) f2 (x) , можно найти по формуле

b	b	b	f2 (x) f1(x) dx .
S f2 (x)dx f1(x)dx			f2 (x) f1(x) dx .
a	a	a

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат, ограниченной непрерывной линией r = r( ) и двумя лучами = и = :

S1 r2 ( )d . 2

Длина дуги плоской кривой AB, описываемой уравнением y = f(x), где a x b:

b	1 f		2
l				dx .
		(x)

Длина дуги плоской кривой AB, заданной в параметрической форме:

x x(t),			2		2
	t : l		2		2	dt .
	t : l	x (t)		y (t)		dt .
y y(t),

Длина дуги плоской кривой AB, заданной в полярной системе координат:

	r( )	2		2
r = r( ), : l					d .
			r ( )

Объем тела вращения вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией y = f(x), f(x) 0, где a x b:

Vx y2 (x)dx . a

Объем тела вращения вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией x = (y), (y) 0, где c y d:

Vy x2 ( y)dy .

Площадь поверхности вращения вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией y = f(x), f(x) 0, где a x b:

b	2
	2	dx .
Sx 2 y(x) 1 y (x)		dx .

Задачи

1. Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием:

с использованием свойств и таблицы неопределенных интег-

ралов:
1)	x2		x3 x cos x dx ;							2)			3x2 3 x						1		dx ;
1)	x2		x3 x cos x dx ;							2)			3x2 3 x								dx ;
	ctg x x3 3								x dx ;								1 x2
3)	ctg x x3 3								x dx ;	4)	x 2			5x 1 3sin x dx ;
5)		x2 x x 1						dx ;		6)	(2ex 2 x )dx ;
5)								dx ;		6)	(2ex 2 x )dx ;
					x
7)		(4x	5x )dx ;							8)			1				x dx ;
7)		(4x	5x )dx ;							8)							x dx ;
												cos2 x
		1			x		2						1						1
9)			2			x		dx ;		10)												dx	;
9)			2			x		dx ;		10)					2							dx	;
		x											1 x		2			4 x		2
													1 x					4 x
			1			ex 1			dx ;				1			x 1
11)			1							12)			1						dx ;
11)				2						12)									dx ;
				2									1 x2
		1 x											1 x2

c использованием приема внесения функции под знак дифференциала или замену переменной:

13)	(x 1)4 3sin (2x 1) dx ;
			1					2x 1	(x				2
15)						2						1)		dx ;
15)			3x		1	2						1)		dx ;
			3x		1
			1					1

17)			7x		4			1 9x2			dx ;
			7x		4			1 9x2
19)			1 2x2			dx	;
19)	xe					dx	;
21)						1				dx
21)			x 3 3					(x 3)3		dx
			x 3 3					(x 3)3
23)	xex2 dx ;
25) esin x cos x dx ;
27)		cos x			dx
27)					dx
		sin3 x
29)		ln2 x		dx ;
29)			x	dx ;
			x

14)

dx ;

4x 3

sin2 2x

16)

dx ;

4 4x2

18)

tg10x 102x 10 dx ;

20)

dx ;

(2 x)

1 x

22)

x3dx

;

x2 4

24)

5 dx ;

26) x2 cos x3dx

28)

dx ;

30)

;

x ln x

с использованием метода интегрирования по частам:

31)	xe1 2xdx ;	32)	xsin 2xdx ;
33)	arctg xdx ;	34)	xarccos xdx ;
35)	x arctg 2xdx ;	36)	x2 sin(2x)dx ;
37)	x ln(x2 1)dx ;	38)	xarccos xdx ;
39)	x ln(x 1)dx ;	40)	x2arctg xdx .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]