Линейная алгебра. Учебное пособие

Глава 1. Линейные пространства

1.1.

Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1.

Определение и примеры линейного пространства . . . . .

1.1.2.

Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . . . . .

1.2.

Базис и координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1.

Базисы и размерность ЛП . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

1.2.2.

ЛП координатных столбцов

1.2.3.

Линейная зависимость в ЛП R . . . . . . . . . . . . . .

1.3.

Матрица перехода из базиса в базис . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1.

Определение и свойства матрицы перехода . . . . . . . .

1.3.2.

Задачи на матрицу перехода в ЛП R . . . . . . . . . . .

1.4.

Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1.

Определение и свойства подпространств . . . . . . . . .

1.4.2.

Способы задания подпространств . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3.

Алгебра подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 2. Линейные операторы

2.1.

Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1.

Определение и примеры линейного оператора . . . . . . .

2.1.2.

Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3.

Алгебра линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.

Подпространства, связанные с линейным оператором . . . . . . .

2.2.1.

Ядро и образ линейного оператора . . . . . . . . . . . . .

2.2.2.

Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . .

2.3.

Собственные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1.

Определение и свойства собственных векторов . . . . . .

2.3.2.

Вычисление координат собственного вектора

. . . . . .

2.3.3.

Оператор простой структуры . . . . . . . . . . . . . . .

Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 3. Пространства со скалярным произведением

3.1.

Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1.

Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2.

Неравенство Коши – Буняковского . . . . . . . . . . . . .

3.1.3.

Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . .

3.1.4.

Процесс ортогонализации Грама – Шмидта . . . . . . . .

3.1.5.

Вычисление скалярного произведения в координатах . . .

3.2.

Линейные операторы и скалярное произведение . . . . . . . . . .

3.2.1.

Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2.

Самосопряженные и эрмитовы операторы . . . . . . . .

3.2.3.

Ортогональные и унитарные операторы . . . . . . . . . .

3.3.

Числовые функции на ЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1.

Линейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2.

Билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .