Лекции по дискретной математике. Математическая логика. Учебное пособие

Задание 5

Определить существенные и фиктивные переменные для функций. Для доказательства существенности переменной, приведите хотя бы одно неравенство, а для доказательства фиктивности перечислите все пары наборов для каждой переменной.

А) f x1 , x2 , x3 11110000 , Б) f x1 , x2 , x3 00110011 , В) f x1 , x2 , x3 01011010 , Г) f x1 , x2 , x3 00111100 ,

Д) f x1 , x2 x1 x2 x2 ,

Е) f x1 , x2 , x3 x1 x1 x2 x3 .

Лабораторная работа 3

Тема: Логические функции

тождественно ложно).

81

Теория (поглощение, склеивание, обобщенное склеивание, расщепление)

А) Поглощение: x xy x.

Доказательство. x xy x 1 xy x 1 y x 1 x .

Б) Склеивание: xy xy x . Доказательство. xy x y x y y x 1 x .

xz xyz yz xyz xz 1 y yz 1 x

xz 1 yz 1 xz yz

Г) Расщепление: x xy x y

распишем, xy x y xy , ищем элемент, который отличается

от каждого другого элемента отрицанием одной переменной. В нашем случае это первый элемент последнего выражения. Повторяем его два раза и применяем к двум другим элементам

xy x y xy xy x y y y x x x 1 y 1 x y

82

Задание 2

Упростить выражения:

А) x y z x y z ;

Б) xy x y ;

В) x x y ;

Г) x y z x y ;

Д) xy x x xz x y x y ;

Е) xy x y xz x y z yz ;

Ж) x z x y x z ;

З) x y x y y x x y ;

И) x yz x y x yz ;

К) y x z x y z z x y ;

Л) yx xz x y z y xy z xy xy .

Лабораторная работа 4

Тема: Принцип двойственности

Задание 1

Определить с помощью таблиц истинности, является ли функция f двойственной к функции g ?

А) f x y, g x y Б) f x y, g y x

В) f xy xz yz, g xy xz yz

Г) f x | y, g x y

83

Д) f x y y x , g x y y x

Е) f xyz x y z , g 01101101 .

Задание 2

С помощью таблиц истинности определить, является ли функция f самодвойственной?

А) f x, y, z x y z

Б) f x, y x y x

Задание 3

Пользуясь принципом двойственности, проверить самодвойственность функции f .

А) f x, y, z xy yz xz

Б) f x, y, z,t xy yz xt zt

В) f x, y, z,t x 1 y zt 0 xyz

Задание 4

Найти для функции f двойственную ей функцию f . Для обеих функций найти глубину формул.

f x, y, z xy yz yz

84

Лабораторная работа 5

Тема: Преобразование логических функций. Двойственность

Правила преобразования функций:

1.x x | x x x

2.xy x | y | x | y

3.x y x y x y

4.x y xy x y

5.x y x y

6.x y x y

7.x | y xy x y

8.x y x y x y

9.x x 1

10.x y x y 1

11.x y 1 x xy

12.x y xy x y

Задание 1

Проверить, является ли функция константой двумя способами: через приведение к ДНФ и таблично.

А) f x, y, z x y x z y z Б) f x, y, z x y z x yz

Задание 2

Показать, что x1 является фиктивной переменной функции f , выразив f формулой, в которую переменная x1 явно не входит.

85

А) f x1, x2 x1 x2 x1 x2

Б) f x1 , x2 , x3 x3 x2 x1 x2 x1 x3 x1 x3

В) f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x1 x2 x3 x2

Задание 3

Для функции f x1, x2 , x3 x1x2 x1x3 x2 x3 доказать самодвойственность двумя способами: по правилу

двойственности f f x1, x1, x3 и таблично.

Задание 4

Проверить справедливость соотношений через представление обеих частей равенства булевыми функциями.

А) x y x z x y z , Б) x y z x y x z , B) x y z xy xz .

Задание 5

Проверить справедливость соотношений двумя способами: через представление обеих частей равенства булевыми функциями и таблично.

А) x y z x y x z , Б) x yz x y x z ,

В) x y z x y x z

86

Лабораторная работа 6

Тема: Полином Жегалкина. СКНФ. СДНФ

Задание 1

Построить СДНФ, СКНФ и полином Жегалкина для функции f .

А) f x1 , x2 x1 x2 , Б) f x1 , x2 x1 x2 ,

В) P x1 , x2 , x3 0110.1000 , Г) f x1 , x2 , x3 1111.1100 ,

Д) f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 ,

Е) f x1 , x2 , x3 , x4 0111.1101.0001.0001 , Ж) f x1 , x2 , x3 , x4 0101.0111.0101.0111 .

Лабораторная работа 7

Тема: Минимизация булевых функций

Задание 1

Представить выражения в виде ДНФ.

x1 x2 x2 x3 x1x2 x2 x3 x1 x3

Задание 2

Перейти от ДНФ к СДНФ (использовать правило y yx yx ).

А) D x1 x2 x3 , Б) D x1 x2 x1 x3 ,

87

В) D x1 x1 x2 x2 x3 .

Задание 3

Перейти от ДНФ к КНФ (использовать правило x yz x y x z ).

А) x1 x2 x3 , Б) x1 x2 x1 x3 ,

В) x1 x3 x2 x3 x1 x2 ,

Г) х1 x1 x2 x2 x3 ,

Д) x1 x2 x2 x3 x1 x3 .

Задание 4

Перечислить простые импликанты по алгоритму Куайна и Мак-Клоски.

А) f x, y, z 1011.0101 , Б) f x, y, z 1110.0110 ,

В) f x, y, z,t 1101.1100.0101.0110 , Г) f x, y, z 0111.0110 ,

Д) f x, y, z,t 0001.1011.1101.1011 .

Лабораторная работа 8

Тема: Таблицы простых импликантов

Задание 1

Найти простые имликанты и выбрать из них минимальное подмножество. (Задание решить двумя способами.)

А) f x, y, z,t 1101.0111.0101.0101 ,

88

Б) f x, y, z,t 1100.0110.0101.0101 , В) f x, y, z,t 1100.0110.0101.0100 , Г) f x, y, z,t 0100.0110.0101.0100 , Д) f x, y, z,t 0101.0111.0101.0101 , Е) f x, y, z,t 0101.0111.0101.0100 , Ж) f x, y, z,t 1100.0111.0101.0101 , З) f x, y, z,t 1111.1111.0111.1110 .

Решение для А) f x, y, z,t 1101.0111.0101.0101

Первый способ (с помощью таблиц).

Второй способ (обозначаем простые импликанты, полученные из первого способа за переменные, и применяем их к наборам):

a a c ccbc b c ccc abc a c b c

abc abc b c abc b c abc abc abc.

Ответ: f x, y, z,t xyz xyz t

89

Лабораторная работа 9

Тема: Замкнутые классы

Задание 1

1) Определить принадлежность функции f x, y, z

классу S.

2) Если возможно, представить константы через функцию f x, y, z .

для функций:

А) f x, y, z 0011.1001 ,

Б) f x, y, z x y x z ,

В) f x, y, z хy z хyz хyz хyz .

Задание 2

1) Определить принадлежность функции f классу M (монотонных функций)

2)Если возможно, с помощью подстановок получить

xчерез f .

А) f x, y x y x y ,

Б) f x, y, z xyz x y z ,

В) f x, y x x y .

Задание 3

1)Определить принадлежность функции f

классу L (линейных функций).

2) Если возможно, с помощью подстановок получить конъюнкцию через f .

90