Лекции по аналитической механике. Учебное пособие
.pdf
|
δφ1 |
|
δsK |
δφ2 |
A |
|
B |
||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
P1 |
K |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 α |
Ff |
|
|
|
|
С |
|
|
|
δSi |
|
|
|
Рис. 2.13 |
|
|
Решение. Считаем, что брус 2 в точке C не отрывается (т.е. пол условно считаем удерживающей связью), а силу трения F f
будем считать активной силой, наряду с весом P1 и весом P2
грузов.
Возможным перемещением бруса AB будет поворот вокруг точки A на угол δϕ1 , например, против часовой стрелки. При этом возможным перемещением бруса BC будет поворот на угол δϕ2 вокруг его МЦС, расположенного в точке E (см. рис. 2.13, точка E построена по известным направлениям возможных перемещений δsB и δsC точек B и C соответственно).
Для упрощения уравнения работ перенесем силу P2 |
вдоль |
|||||||
линии ее действия в точку K (см. рис. 2.13). Тогда |
|
|||||||
−Pδ s − P δ s |
K |
+ F |
δ s |
|
= 0. |
(2.12) |
||
1 1 |
2 |
|
f |
C |
|
|
||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ s1 = δϕ1l / 2, δ sK = δϕ2l cosα / 2, |
δ sC = δϕ2 EC = δϕ2l sinα. |
|||||||
Связь между углами δϕ1 и δϕ2 получим, рассмотрев точ- |
||||||||
ку B , общую для двух брусков: |
δ sB = δϕ1l = δϕ2l cosα. Следо- |
|||||||
вательно, δϕ1 = δϕ2 cosα. |
Тогда |
из |
(2.12) получаем, что |
|||||
41
(−Pl / 2 − P l / 2 + F |
l tgα )δϕ = 0. |
Поэтому искомая сила трения |
||||
|
|
1 |
2 |
f |
1 |
|
F |
f |
= (P + P )ctgα / 2. |
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Заметим, что если бы мы решали эту задачу обычными методами статики, то с помощью лишь одного уравнения равновесия нам бы этого сделать не удалось.
Задача 2.3. |
Система из четырех |
однородных стержней |
OA, AB, BC и |
CO равной длины l |
и весом соответственно |
P1 , P2 , P3 и P4 , сочлененных шарнирами, находится в равнове-
сии в вертикальной плоскости. Точка O закреплена шарнирно (рис. 2.14). Определить моменты пар m1 и m4 , которые нужно
приложить к стержням |
OA и OC соответственно, чтобы при |
|||||
заданных углах ϕ и ψ |
система находилась в равновесии. Тре- |
|||||
нием во всех шарнирах пренебречь. |
|
|
|
|||
m4 |
O |
|
m4 |
|
|
|
C |
φ |
|
|
|
δψ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
P4 |
ψ |
|
δs3 |
P4 |
δs1 ψ |
|
P1 |
|
P3 δs2 |
P1 |
|||
P3 |
|
|||||
|
m1 |
m1 |
|
A |
P2 |
B |
P2 |
|
|
|
Рис. 2.14 |
Рис. 2.15 |
δsC |
δs4 |
δφ O |
||
|
|
|
φ |
|
δs3 |
C m4 |
|
P4 |
ψ |
P3 δs2 |
|
|
P1 |
|
|
m1 |
|
||
|
P2 |
A |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.16 |
|
|||
|
42 |
|
|
|
Решение. Система стержней имеет две степени свободы. В качестве независимых параметров (обобщенных координат) можно взять углы ϕ и ψ . Действительно, если мы зафиксируем
угол ϕ , то угол ψ может меняться, так как шарнирный ромб OABC – фигура нежесткая. Задание же обоих углов ϕ и ψ ,
очевидно, полностью определяет положение системы. Зафиксируем сначала угол ϕ и дадим системе возможное
перемещение, соответствующее изменению δψ угла ψ (рис. 2.15). При фиксированном угле ϕ стержень OC будет ос-
таваться на месте, следовательно, вес P4 и момент m4 работы
совершать не будут. Уравнение работ (2.10) тогда будет иметь вид
|
Pδs cos(ψ + π / 2) + P δs |
2 |
cos(ψ + π / 2) + |
|
|||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ P3δs3 cos(ψ + π / 2) + m1δψ = 0. |
|
||||||
Так как |
δs1 = δs3 = lδψ / 2,δs2 = δsA = lδψ |
(см. рис. 2.15), а |
|||||||
cos(ψ + π / 2) = − sinψ , |
то (−l sinψ (P + 2P + P ) / 2 + m )δψ = 0, |
||||||||
или m = l sinψ (P + 2P + P ) / 2. |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
Теперь, |
наоборот, |
зафиксируем угол ψ |
и дадим системе |
||||||
возможное перемещение, соответствующее изменению δϕ |
уг- |
||
ла ϕ (рис. 2.16). При фиксированном угле ψ |
на месте будет |
||
оставаться стержень OC, и работы совершать не будут вес |
P1 |
||
и момент m1 . Уравнение работ (2.10) тогда будет иметь вид |
|
||
P2δ s2 cos(ϕ + π / 2) + P3δ s3 cos(ϕ + π / 2) + |
|
||
+P4δ s4 cos(ϕ + π / 2) + m4δϕ = 0. |
|
|
|
Так как δ s2 = δ s4 |
= lδϕ / 2,δ s3 = δ sC = lδϕ |
(см. рис. 2.16), |
|
а cos(ϕ + π / 2) = − sin ϕ, |
то (−l sinϕ(P2 + 2P3 + P4 ) / 2 + m4 )δϕ = 0, |
||
или m4 = l sin ϕ(P2 + 2P3 + P4 ) / 2.
Решите, читатель, эту задачу обычными методами статики и определите, какой из двух способов предпочтительнее.
43
Задача 2.4. Определить реактивный момент M A , возни-
кающий в жесткой заделке составной рамы, изображенной на |
|
рис. 2.17, если P = 5 кН, P = 10 кН, M = 100 кН× м , а размеры |
|
1 |
2 |
рамы указаны в метрах.
P1
|
M |
P2 |
2 |
|
C |
|
|
||
60º |
|
|
B |
1
|
|
3 |
A |
4 |
6 |
Рис. 2.17
Решение. Отбросим связь, препятствующую повороту рамы вокруг точки A . Для этого заменим жесткую заделку непод-
вижным шарниром и приложим к раме искомый момент M A , считая его уже активным (рис. 2.18).
D
δφ2
δφ2
|
|
P2 |
|
δsC |
M |
|
B |
|
|
P1 |
C |
|
δφ1 |
|
А |
δφ1 |
Рис. 2.18 |
44
Сообщим теперь системе возможное перемещение, повернув раму AC вокруг шарнира A на угол δϕ1 , например, против направления движения часовой стрелки. Рама BC при этом повернется на угол δϕ2 по направлению движения часовой стрел-
ки вокруг своего мгновенного центра скоростей D . Действительно, точку D найдем по известным направлениям возможных перемещений δsC и δsB точек C и B соответственно.
Направление же поворота рамы BC вокруг точки D определится по уже найденному направлению возможного перемещения δsC точки C (рис. 2.18). Связь между углами δϕ1 и δϕ2
найдем, выразив возможное перемещение δ sC точки C : δsC = = AC ×δϕ1 = DC ×δϕ2 . Следовательно, δϕ2 = ( AC / DC) ×δϕ1 = 0.5δϕ1.
Составим теперь уравнение работ (2.10), учитывая, что работа силы при повороте тела равна моменту силы относительно центра вращения, умноженному на угол поворота тела, и положительна, если направления момента и поворота совпадают:
M |
A |
×δϕ - P ×3 ×δϕ - P cos 60°×8 ×δϕ |
2 |
- |
|
|
||||
|
1 1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
-P2 cos 30°× 2 ×δϕ2 + M ×δϕ2 = 0. |
|
|
|
|
||||
Подставляя сюда значение |
δϕ |
2 |
= 0.5δϕ , получим (M |
A |
- 3P - |
|||||
-2P2 - 0.5P2 + 0.5M ) ×δϕ1 = 0. |
|
1 |
|
|
1 |
|||||
Отсюда |
M A = -10 кН× м. |
Знак |
||||||||
«минус» указывает на то, что реактивный момент в жесткой заделке направлен по направлению вращения часовой стрелки.
2.9. Выражение принципа через обобщенные координаты
Запишем уравнение работ (2.10) в обобщенных координатах, воспользовавшись выражением (2.8):
|
|
|
|
¶r |
|
|
δAakt = ∑Fkakt ×δsk |
= ∑ |
∑Fkakt × |
k |
δq j |
= ∑Qjδq j = 0. |
|
|
||||||
k |
j |
|
k |
¶q j |
j |
|
45
Величины Q j = ∑Fkakt × |
¶rk |
, j = 1,..., s, называют обоб- |
|
||
k |
¶q j |
|
щенными силами, соответствующими обобщенным координа-
там q j |
. Так как величины δ q1 ,...,δ qs независимы между собой |
|
(см. п. 2.3), то из равенства |
|
|
|
δAakt = ∑Q jδq j = 0 |
(2.13) |
|
j |
|
следует, что |
|
|
|
Q j = 0 , j = 1,..., s. |
(2.14) |
Действительно, для того чтобы показать, например, что |
||
Q3 = 0, |
положим в уравнении (2.13), которое выполняется для |
|
любых |
возможных перемещений, δq1 = δq2 = δq4 = ... = δqs = 0, |
|
δq3 ¹ 0 .
Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соот-
ветствующие выбранным для данной системы обобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия
(2.14) равно, как видим, числу степеней свободы системы.
В рассмотренных выше задачах, мы, по существу, и вычисляли обобщенные силы, а затем приравнивали их нулю. Отметим, что, в отличие от обычных сил (векторных величин), обобщенные силы являются скалярными величинами. Размерности их также могут не совпадать с размерностью обычной силы. Действительно, в силу равенства (2.13) размерность произведения Q j δq j совпадает с размерностью работы, следовательно,
[Q j ] = [ A] /[q j ] . Если q j линейная величина, то Q j имеет размерность силы, если же q j – угол, то Q j будет измеряться в Н × м (в системе СИ) и иметь размерность момента и т.д.
46
Вопросы для самоконтроля
1.Как учитываются действия связей на систему в классической (ньютоновской) и аналитической механике?
2.Как определяются возможные (виртуальные) перемещения точек системы? Зависят ли они от действующих на систему сил? Чем они отличаются от действительных перемещений?
3.Какие величины называют обобщенными координатами системы?
4.Какие связи называют стационарными? Что означает термин «удерживающая связь»?
5.Какие связи называют голономными, а какие неголономными? Приведите примеры тех и других связей.
6.Как определяется число степеней свободы для голономных систем? Каково это число в случае вращательного движения твердого тела? А в случае плоского движения?
7.Какие связи называются идеальными? Приведите примеры идеальных и неидеальных связей.
8.В чем состоит принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)? Для каких связей, действующих на механическую систему, он применим?
9.Можно ли применить принцип возможных перемещений для системы, у которой одна из связей – шероховатая поверхность? А если одна из связей – неидеальный шарнир
стрением?
10.Как вы думаете, для каких механических систем принцип возможных перемещений дает преимущество по сравнению
склассическим методом расчета?
11.Когда механическую систему называют простейшей машиной? Приведите примеры простейших машин. В чем состоит золотое правило механики?
12.Как можно применять принцип возможных перемещений к определению реакций связей механической системы?
47
13.В какой последовательности лучше решать задачи на применение принципа возможных перемещений?
14.Какие величины называют обобщенными силами? Это векторные величины или скалярные? Совпадает ли их размер-
ность с размерностью обычных сил?
15. Как формулируется принцип возможных перемещений в обобщенных координатах?
Упражнения
У2.1. Какой вращающий момент M нужно приложить к кривошипу OA длиной L = 10 cм, чтобы уравновесить силу F = 50 Н? Весом параллелограмма OABC (рис. 2.19) и трением в шарнирах пренебречь.
60°
Рис. 2.19
У2.2. Определить вертикальную составляющую реакции шарнира A, если F = 8 кН. Весом конструкции (рис. 2.20) и трением в шарнирах пренебречь.
48
Рис. 2.20
У2.3. Определить модуль силы F, уравновешивающей пару сил с моментом M, если AB = L. Весом конструкции (рис. 2.21) и трением в шарнирах пренебречь.
Рис. 2.21
49
Лекция 3. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
3.1.Принцип Даламбера– Лагранжа (общее уравнение динамики)
Перейдем теперь к движущимся механическим системам. Напомним, что наша задача состоит в том, чтобы найти принцип выбора действительного движения точек системы среди всех возможных, дозволяемых связями. В случае покоящейся системы таким принципом был принцип Лагранжа (см. лекцию 2). Вместе с тем мы уже познакомились с принципом Даламбера (см. лекцию 1), который позволяет решать задачу динамики методами статики с помощью введения сил инерции. Объединив теперь эти два принципа вместе, мы получим общий метод решения задач динамики, который и будет называться принципом Даламбера– Лагранжа. Ясно, что мы должны сделать – сначала к активным силам, действующим на движущуюся систему, до-
бавить силы инерции Fkin и воспользоваться принципом Далам-
бера, а затем уже применить принцип Лагранжа (принцип возможных перемещений). Конечно, при этом условия его применимости должны выполняться, т.е. связи, действующие на нашу систему, должны быть двусторонними, голономными и идеальными. Что же касается стационарности связей, то это требование можно опустить, т.е. мы будем рассматривать в этой лекции как стационарные, так и нестационарные связи. Дело в том, что стационарность связей в принципе возможных перемещений требовалась лишь при доказательстве его достаточности (доказательстве того, что если уравнение работ (2.10) выполняется, то система будет находиться в равновесии, см. лекцию 2), что нам сейчас не потребуется. В итоге мы получим уравнение работ в виде
50