Компьютерные модели. Методические указания к лабораторным работам для студентов дневной и заочной форм обучения всех направлений подготовки, реализуем

Учитывая, что волновое число k=, выражение (5) принимает следующий вид:

Это и есть уравнение стоячей волны. Из уравнения (6) следует, что в каждой точке этой волны происходят колебания с одной и той же частотой ω и амплитудой стоячей волны , которая, в отличие от ам-

плитуды A бегущих волн, является периодической функцией координаты x :

знак модуля поставлен потому, что амплитуда — положительная величина.

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны, называют узлами стоячей волны. Их положение определяется из условия:

Это уравнение удовлетворяется при , т.е. узлы имеют координаты:

(8)

где n=0,1,2…

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны максимальна (), называются пучностями стоячей волны. Координаты этих точек определяются из условия:

22

Это уравнение удовлетворяется при значениях аргумента , т. е. пучности имеют координаты:

(9)

где n=0,1,2…

Из формул (8) и (9) следует, что расстояние между соседними узлами, так же как и расстояние между соседними пучностями, равно .

Пучности и узлы сдвинуты друг относительно 2A друга на четверть длины волны.

Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если бегущая волна отражается от более плотной среды, то волна меняет фазу на противоположную, у границы складываются колебания с противоположными фазами, и образуется узел. При отражении волны от менее плотной среды изменения фазы не происходит, и на границе складываются колебания с одинаковыми фазами — образуется пучность.

В стоячей волне, в отличие от бегущей, отсутствует перенос энергии, поскольку встречные бегущие волны одинаковой амплитуды переносят равную по величине энергию в противоположных направлениях. Энергия колебания между двумя узлами остается постоянной, совершается лишь превращение кинетической энергии в потенциальную, и наоборот.

Собственные колебания сплошной ограниченной среды

Ограниченные среды (струна с закрепленными концами, пластина, стержень со свободным или закрепленным концом и т. д.) представляют собой колебательные системы с распределенными параметрами.

В случае свободных колебаний таких систем в них устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т.е. могут принимать только дискретные значения, называемые собственными частотами колебаний соответствующей колебательной системы.

На жестко закрепленных концах струн или стержней располагаются узлы, а на свободных концах стержней — пучности стоячей волны.

Например, в гибкой однородной струне, натянутой между двумя точками и выведенной из положения равновесия, возбуждаются только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на

длине струны L целое число раз.

23

Таким образом, струна делится неподвижными точками — узлами — на несколько равных отрезков, длина которых равна половине длины бегущей волны. Следовательно, можно записать:

(10)

где n — целое число, определяющее количество полуволн, укладывающихся по всей длине струны (n=1,2,3…).

Так как длина волны связана со скоростью распространения волны u и частотой v (или f ) соотношением u - v, то

Учитывая (10), получим:

(11)

где n=1,2,3…

Частоты называются собственными частотами колебаний стру-

Эта частота называется основной частотой (в акустике — основным тоном). Частоты, соответствующие n 2, 3, , называются гармони-

ками (обертонами). В общем случае любые сложные колебания в струне можно представить как суперпозицию нескольких собственных колебаний, отличающихся не только частотами, но и амплитудами для отдельных точек струны. Распределение амплитуд собственных колебаний струны, закрепленной с обеих сторон, для различных значений n имеет вид, изображенный на рис. 1.

Опыт показывает, что скорость распространения колебаний вдоль

L

L — длина струны):

(12)

24

Тогда с учетом (12) формула (11) принимает вид:

(13)

Рис. 1. Распределение амплитуд собственных колебаний струны, закрепленной с обеих сторон

Методика и порядок измерений

Задание № 1. Изучение собственных колебаний струны. Установите с помощью движков регуляторов постоянные значения

линейной плотности материала и силы натяжения струны, указанных в табл. 17 для вашей бригады.

Установите начальную частоту колебания струны =1,0 Гц и, постепенно увеличивая ее значение, получите устойчивые колебания струны при n =1 (см. распределение точек струны при n =1 на рис. 1).

Аналогичным образом получите стоячие волны, соответствующие различным значениям n , и заполните табл. 18.

Установите второе значение плотности материала струны из табл. 17 для вашей бригады и проделайте измерения п. 2 и п. 3 еще раз и заполните табл. 19.

25

Таблица 17

Значения линейной плотности материала и силы натяжения струны

Результаты измерений и расчетов

Таблица 18

териала струны и сравните его значение с установочным.

Оцените погрешность измерений и сделайте выводы по графикам и ответу.

26

Задание № 2. Продольные и поперечные волны. I. Продольные волны в твердом теле.

1.Откройте на экране продольные волны в твердом теле.

2.Установите значение Y модуля сжатия (модуля Юнга) из табл. 20 согласно вашей бригаде.

3.Меняя плотность стержня от 2*103 до 10*103 кг/м3, с шагом 1*103 кг/м3, посмотрите, как меняется скорость распространения волн в твердом теле.

4.Произведите вычисления скорости волн в твердом теле с помощью формулы (5). Заполните табл. 21.

5.Постройте график зависимости скорости волн в твердом теле от плотности вещества.

Таблица 20

Значение Y модуля сжатия

Таблица 21

Результаты значений

27

II. Звук в газе.

1.Откройте на экране звук в газе.

2.Установите значение В адиабатного модуля сжатия из табл. 20 согласно вашей бригаде.

3. Меняя плотность стержня от 0,5 до 0,9 кг/м3, с шагом 0,05 кг/м3, посмотрите, как меняется скорость распространения волн в твердом теле.

4.Произведите вычисления скорости волн в твердом теле с помощью формулы (6). Заполните табл. 22.

5.Постройте график зависимости скорости звука в газе от плотности вещества.

Контрольные вопросы

1.Что такое волна?

2.Какая волна называется продольной, поперечной?

3.Что такое волновой фронт и волновая поверхность?

4.Что называется длиной волны, волновым числом?

5. Какая волна является: а) бегущей; б) стоячей; в) плоской; г) сферической?

6.При каких условиях возникают стоячие волны?

7.Две плоские волны, распространяющиеся навстречу друг другу, отличаются только амплитудами. Образуют ли они стоячую волну?

8.Запишите уравнение стоячей волны.

9.Запишите волновое уравнение.

10.Чем стоячая волна отличается от бегущей?

11.Что такое пучность и узел стоячей волны?

12.Чему равно расстояние между двумя ближайшими пучностями стоячей волны? Двумя соседними узлами? Соседним узлом и пучностью стоячей волны?

13.Запишите формулы определения координат пучностей и узлов стоячей волны.

14. При интерференции двух встречных одинаковых волн с =10 см возникает стоячая волна. Каково расстояние между ее соседними пучностями?

15.От чего зависит, будет ли на границе отражения узел или пучность? Ответ обоснуйте.

16.Расстояние между первым и четвертым узлами стоячей волны равно 20 см. Определите длину волны.

17.От чего зависит скорость распространения упругой волны в

струне?

28

Если на линзу падает пучок монохроматического света, то световые волны, отраженные от верхней и нижней поверхностей воздушной прослойки, будут интерферировать между собой. При этом образуются интерференционные полосы, имеющие форму концентрических светлых и темных колец убывающей ширины.

В отраженном свете оптическая разность хода с учетом потери полуволны будет равна:

возникают темные кольца. Из формул (17) и (18) радиус k-ого темного кольца будет равен:

r 2 kR

30