Использование конечно-разностных методов при решении задач теплопроводности. Методические указания к расчётной работе по дисциплине «Методы математиче

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра нанотехнологий

А.В. Севостьянов

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ

ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к расчётной работе по дисциплине «Методы математического моделирования»

Липецк Липецкий государственный технический университет

2015

1

УДК 519.25(07)

С281

Рецензент – В.И Дождиков, профессор, доктор технических наук

Севостьянов, А.В.

С281 Использование конечно-разностных методов при решении задач теплопроводности [Текст]: метод. указ. к расчётной работе по дисциплине «Методы математического моделирования» /

А.В. Севостьянов. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2015. – 32 с.

В методических указаниях приведены методы решения уравнения теплопроводности с использованием явной и неявной конечно-

разностных схем. Методы решения проиллюстрированы на примере конкретной задачи.

Методические указания предназначены для студентов III курса физико-технологического факультета профиля подготовки

«Нанотехнологии и наноматериалы» направления «Наноинженерия».

Табл. 4. Ил. 4. Библиогр.: 2 назв.

© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2015

2

3

Перечень условных обозначений

a – коэффициент температуропроводности, м2/с; c – удельная массовая теплоёмкость, Дж/(кг·К); l – линейный размер, м;

n – параметр устойчивости;

q – плотность теплового потока, Вт/м2;

( ) – удельная объёмная мощность источника теплоты, Вт/м3; x, y – координаты,

K – количество точек по оси времени;

M– количество точек по оси x;

N– количество точек по оси y;

T– температура, °C;

– кооэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К);– заданная абсолютная погрешность;

– коэффициент теплопроводности, Вт/(м К);– плотность, кг/м3;

– время, с;– температура на границе, °С;

– приращение, шаг.

4

Основные процессы электродинамики и тепломассообмена описываются дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных.

Наиболее распространёнными способами решения подобных уравнений являются конечно-разносные методы (КРМ), реализуемые на современной вычислительной технике.

КРМ основаны на замене дифференциальных операторов конечно-

разностными соотношениями. Для записи конечно-разностных соотношений необходимо заменить область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения и непрерывную область значений функции – дискретным набором её значений, определённых на дискретном множестве значений аргумента.

Пусть = ( ) - некоторая функция, а 1, 2, … , , … , – область дискретных значений аргумента. Тогда для аргумента можно записать

дискретного изменения второго аргумента.

Множество точек плоскости ( , ) с координатами = ∙ ∆ и = ∙ ∆

будем называть сеткой с размерами ячеек ∆ и ∆ . В общем случае сетка может быть многомерной. Функция, определённая на таком дискретном множестве,

называется сеточной. Таким образом, непрерывная область значений аргумента заменяется сеткой, а пространство решений дифференциального уравнения аппроксимируется пространством сеточных функций.

1. Основные соотношения

Применение КРМ рассмотрим на примере численного решения неоднородного дифференциального уравнения теплопроводности

Среду принимаем однородной и изотропной, параметры λ, ρ и с не зависят от температуры. Единственность решения уравнения (6) определяется начальными условиями, т.е. распределением температуры в начальный момент времени, и граничными условиями, задающими процесс теплообмена на границе.

Рассмотрим два метода решения конечно-разностных уравнений: явную и неявную схемы.

1.1. Явная схема

Анализ уравнения (5) показывает, что для двумерной задачи необходимо знать значения сеточной функции в шести точках: в пяти – на одном временном уровне и в одной – на другом. Рассмотрим шеститочечный шаблон (рис. 1).

Распишем производные для этого шаблона.

i-1, j, k

i, j-1, k

Рис. 1. Шеститочечный шаблон для явной схемы

Конечно-разностный аналог уравнения (6) будет иметь вид

где = ∙ ∆ , = ∙ ∆ , = ∙ ∆ , = 1, 2, … , ; = 1, 2, … , ; = 1, 2, …

Перепишем уравнение (10), оставив значения сеточной функции на следующем временном слое слева, а на предыдущем – справа:

В уравнении (11) температура на следующем временном слое определяется через значения температуры на предыдущем временном слое.

Температура в начальный момент времени задаётся в краевых условиях, что позволяет явно определять температуру в следующий момент времени. Это обстоятельство определило название рассматриваемой расчётной схемы.

Для явных схем актуальным является условие устойчивости, которое ограничивает выбор шага по времени ∆ . Условие устойчивости для двумерной задачи имеет следующий вид:

∆ [( 1)2 + ( 1)2] ≤ 1 , (12)

∆ ∆

7

1.2. Неявная схема

Рассмотрим шеститочечный шаблон (рис. 2).

i, j+1, k+1

i+1, j, k+1

i, j-1, k+1

i, j, k

Рис. 2. Шеститочечный шаблон для неявной схемы Распишем производные для этого шаблона:

8

температуры в пяти точках следующего временного слоя определяются через температуру в одной точке предыдущего временного слоя, т.е. получается уравнение с пятью неизвестными. Это обстоятельство и определило название рассматриваемой расчётной схемы. В отличие от явной схемы неявная абсолютно устойчива.

Для нахождения , , при каждом значении k необходимо решать пятидиагональную систему линейных алгебраических уравнений, для чего можно воспользоваться одним из итерационных методов [1].

1.3. Метод Якоби

Необходимо найти решение системы m линейных уравнений, которая записывается в общем виде как

которых в систему уравнений она превращается в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных алгебраических уравнений является условие неравенства нулю определителя матрицы коэффициентов . В случае равенства нулю определителя матрица коэффициентов называется вырожденной и при этом система либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

В дальнейшем будем предполагать наличие единственного решения.

Расчётные формулы имеют вид

9

1.4. Метод Гаусса-Зейделя

Метод Гаусса-Зейделя является дальнейшим развитием метода Якоби.

Расчётные формулы имеют вид для системы уравнений (19):

т.е. для подсчёта i-й компоненты (k+1)-го приближения к искомому вектору используется уже вычисленные на этом, т.е. (k+1)–м шаге, новые значения первых (i–1) компонент, что отличает этот метод от метода Якоби.

Упомянутый приём позволяет уменьшить количество итераций примерно в два раза. Подробные формулы имеют вид

Соотношение (21) является условием окончания итерационного процесса.

1.5. Метод последовательной верхней релаксации

Метод последовательной верхней релаксации получается из метода Гаусса-Зейделя введением параметра релаксации:

10