Использование конечно-разностных методов при решении задач теплопроводности. Методические указания к расчётной работе по дисциплине «Методы математиче

итерации Гаусса-Зейделя по уравнению (22). Общих методов определения параметра релаксации нет. Оптимальный выбор параметра может на порядок сократить число итераций. При решении задач теплопроводности оптимальное значение парамета выбирают из диапазона опт ≈ 1,75 ÷ 1,80.

1.6. Разностное представление граничных условий

Уравнения (11) и (18) необходимо дополнить разностным аналогом краевых условий. Граничные условия 1-го рода аппроксимируются разностным аналогом точно в узлах на границе расчётной области. Граничные условия второго и третьего рода отличаются тем, что в них присутствует производная первого порядка искомой функции по пространственной переменной. Поэтому для замыкания конечно-разностной схемы необходима их конечно-разностная аппроксимация. Ниже приведены самые простые разностные выражения для граничных условий.

Граничные условия 1-го рода

граничные условия 2-го рода

граничные условия 3-го рода

1.7. Составление блок-схемы

Обычно для отображения последовательности вычислений и изображения вычислительных процессов используют блок-схемы алгоритмов расчетов. При этом предлагается пользоваться следующими графическими элементами:

– терминатор: начало и (или) конец процесса обработки данных;

–данные: ввод и вывод данных и результатов на неопределённый носитель;

–процесс: элементарная вычислительная операция по обработке данных;

–предопределенный процесс: процесс, состоящий из операций,

описанных в другом месте (подпрограмма);

– граница цикла: символ, состоящий из двух частей, отображает начало и конец цикла. Обе части символа имеют один и тот же идентификатор. Условия для инициализации, завершения и т.д.

помещаются внутри символа в начале или в конце в зависимости от расположения операции, проверяющей условие;

– решение: операция с одним входом и несколькими альтернативными выходами, один из которых активизируется после проверки условия, записываемого внутри символа;

– соединитель: отображает выход в часть схемы и вход из другой части этой схемы и используется для обрыва линии передачи управления и продолжения её в другом месте.

Соответствующие символы-соединители должны содержать одно и то же уникальное обозначение;

– комментарий: используется для добавления описательных комментариев или пояснительных описаний в целях объяснения

12

или примечаний. Пунктирная линия связана с соответствующим символом. Текст комментария должен быть помещён около ограничивающей фигуры;

Потоки управления в схемах показываются линиями. Направление потока слева направо и сверху вниз считается стандартным. Если поток имеет направление, отличное от стандартного, стрелки должны указывать это направление.

2. Пример использования неявной схемы

Исходные данные

Рассмотрим пример решения уравнения (6) для стальной пластины со

по оси y 0( ) = нач − 1.283 °C ;1( ) = нач − 1.283 °C .

Внутренний источник теплоты задаётся следующим соотношением:

( )( , , ) = 0.16 (1 + ) |sin (2 )| МВт/м3.

1 2 1 2

Необходимо найти распределение температуры по площади пластины через указанный интервал времени.

Алгоритм

Решение проводим по неявной схеме методом Гаусса-Зейделя. Заданы размеры пластины 1 × 2. Сторону 1 разобъём на (N-1) равных отрезков длиной ∆ , а сторону 2 – на (M-1) равных отрезков длиной ∆ . Шаг по оси x

определяется соотношением

получается из формулы (18), если разрешить его относительно температуры

Условием выхода из итерационного цикла является соотношение (21).

Для реализации этого условия предусматривается вычисление матрицы ошибок

R. На каждом шаге итерации определяется максимальный элемент этой

14

матрицы и сравнивается с заданной точностью. Как только заданная погрешность превышает максимальный элемент, происходит выход из итерационного цикла.

Для оценки темпов сходимости определяется количество итераций.

В прил. 1 изображена блок-схема алгоритма расчёта по неявной схеме.

Для чтения программы весьма полезной может быть таблица соответствия переменных, в которой в алфавитном порядке приведены идентификаторы, использованные в программе (табл. 1).

Распечатка программы, составленной в среде программирования Scilab,

представлена в прил. 2. Задание исходной информации приведено в прил. 3. В

прил. 4 представлено распределение температуры в конечный момент времени.

На рис. 3 и 4 можно видеть графики распределений температуры в пластине.

16

Рис. 3. Распределение температуры по пластине в заданное время

Рис. 4. Распределение температуры по пластине в зависимости от времени по одной из координат

17

3. Задания

Задание формулируется следующим образом:

а) численными методами рассчитать распределение температуры по площади пластины с заданными граничными условиями через время кон от начала теплообмена с применением неявной схемы;

б) сравнить темпы сходимости методов Якоби, Гаусса-Зейделя и последовательной верхней релаксации в диапазоне значений параметра релаксации = 1,2 ÷ 2,0.

По указанию преподавателя студент выбирает из табл. 2 исходные данные для решения по неявной схеме, из табл. 4 – граничные условия, из табл. 3 – интенсивность внутреннего источника теплоты. Процесс – нагрев или охлаждение – задаётся преподавателем. Температуры t1 и t2 интерпретируются только в этом смысле: при нагреве меньшая температура является начальной, при охлаждении начальной становится бóльшая температура, вторая температура имеет смысл температуры окружающей среды. Теплофизические параметры материала пластины приведены в прил. 5. Количество узлов сетки студент определяет самостоятельно.

Таблица 3

20