Интеллектуальные системы контроля и управления. Системы с нечеткой логикой. Практикум

№ 4695 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра Инфокоммуникационных технологий

А.В. Сириченко

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ И УПРАВЛЕНИЯ

СИСТЕМЫ С НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКОЙ

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2022

УДК 004.896 С40

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. С.С. Киров

Сириченко, Андрей Викторович.

С40 Интеллектуальные системы контроля и управления. Системы с нечеткой логикой : практикум / А.В. Сириченко. – Москва : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2022. – 24 с.

Практикум знакомит с важнейшими понятиями систем с нечеткой логикой − одним из направлений в области создания искусственного интеллекта. Представлены основные сведения о системах с нечеткой логикой, включающие базовые понятия теории нечетких множеств, информацию об основных операциях над нечеткими множествами, понятие импликации нечетких множеств и дефаззификации, а также сформулированы темы заданий для самостоятельного выполнения.

Практикум предназначен для обучающихся в бакалавриате по направлению 09.03.02 «Информационные системы и технологии» и в магистратуре по направлению 27.04.04 «Управление в технических системах».

УДК 004.896

А.В. Сириченко, 2022

НИТУ «МИСиС», 2022

Содержание

Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.Элементы теории нечетких множеств . . . . . . . . . 5

1.2.Нечеткие правила и нечеткая импликация . . . . . 7

1.3.Агрегация локальных выводов . . . . . . . . . . 8

1.4.Дефаззификация. . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.Задания для самостоятельного выполнения . . . . . . 11

2.1.Логические операции над нечеткими

множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.Нечеткая импликация. . . . . . . . . . . . . 16

2.3.Синтез нечеткой базы правил. . . . . . . . . . . 21

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . 23

3

ВВЕДЕНИЕ

Системы с нечеткой логикой – одно из перспективных направлений в области создания искусственного интеллекта. В настоящем практикуме представлены основные сведения о системах с нечеткой логикой, включающие базовые понятия теории нечетких множеств, информацию об основных операциях над нечеткими множествами, понятие импликации нечетких множеств и дефаззификации, а также сформулированы темы заданий для самостоятельного выполнения.

Практикум предназначен как для использования при проведении практических занятий, так и для самостоятельной работы студентов.

4

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Важнейшим понятием нечеткой логики является понятие

функции принадлежности.

Пусть U – универсальное множество. Нечеткое множество U характеризуется функцией принадлежности µNCT (x), которая принимает значения в интервале [0, 1]. Нечеткое множество А, принадлежащее U, может быть представлено парой элементов – значения х и его значения функции принадлеж-

ности A ={(x,µNCT (x))x U}.

На практике для решения задач систем управления наиболее распространены треугольные, трапецеидальные и колоколообразные функции принадлежности (рис. 1).

Рис. 1. Виды функций принадлежности

Лингвистическая переменная в теории нечетких множеств – переменная, которая может принимать значения фраз из естественного или искусственного языка. Например, лингвистическая переменная «Возраст», графическое представление которой изображено на рис. 2, может иметь значения «Молодой», «Средний», «Пожилой». Фразы, значение которых принимает переменная, в свою очередь являются именами нечетких переменных и описываются нечетким множеством.

1.1. Основные операции над нечеткими множествами Рассмотрим основные операции над нечеткими множества-

ми (рис. 3).

Включение. Говорят, что A содержится в B, если для любого x выполняется неравенство µA (x)≤µB (x). Обозначение: A B .

5

Рис. 2. Графическое изображение лингвистической переменной «Возраст»

Рис. 3. Графическое изображение логических операций над нечеткими множествами:

а – объединение; б – пересечение; в – дополнение

Равенство. A и B называются равными, если для всех x

справедливо µA (x)=µB (x). Обозначение: A = B . Объединением A и B называется наименьшее нечеткое под-

множество, включающее как A, так и B, с функцией принад-

лежности µA B (x)≡max(µA (x), µB (x)). Обозначение: A B . Пересечением A и B называется наибольшее нечеткое подмно-

жество, содержащееся одновременно в A и B, с функцией принадлежности µA∩B (x)≡min(µA (x), µB (x)). Обозначение: A ∩B.

6

Дополнением A называется B, если для любого x выполняется µA (x)≡1−µB (x). Обозначение: B = A .

Разностью A и B называется нечеткое подмножество A ∩B. Обозначение: A −B .

1.2. Нечеткие правила и нечеткая импликация

В теории нечетких множеств для управления параметрами большое значение имеют нечеткие предложения – высказывания типа «pr: x есть A», где x – физическая величина (скорость, ток), А – лингвистическая переменная, pr – предложение. Например, «скорость есть высокая» – «pr: x = A». Нечеткие предложения дополняются связками «И» и «ИЛИ».

Метод Заде при реализации логических связок «И» и «ИЛИ» наиболее предпочтителен, так как не имеет избыточности, представляя собой комбинацию двух равных нечетких предложений.

Логическое «И»: µA∩B (x)=min(µA (x), µB (x)). Логическое «ИЛИ»: µA B (x)=max(µA (x), µB (x)). Нечеткие предложения, дополненные логическими связ-

ками «И» и «ИЛИ», называются условиями и дополняются условием «ЕСЛИ»: «Если pr1: x1 = A1 и pr2: x2 = A2».

Совокупность условий дополняется заключением «ТОГДА» и называется выводом.

Совокупность условий и выводов называется нечетким правилом R1:

«R1: ЕСЛИ x1 = A1 и x2 = A2, ТОГДА y1 = B1 и y2 = B2». Совокупность нечетких правил образует нечеткую базу

правил {Ri}ki=1 :

«Ri: ЕСЛИ ..., ТОГДА ...; i = 1…, k».

Нечеткая база правил имеет следующие свойства: непрерывность, непротиворечивость, полнота данных.

Нечеткой импликацией называется логическая операция «ЕСЛИ…, ТОГДА…». Результатом нечеткой импликации является значение в результате выводов нечеткого высказывания.

7

Пусть правило содержит один вывод. База правил запишется следующим образом:

Ri :µBi1 =µA1i (x1 )→µA2i (x2 ); i =1 ... k .

Приняты следующие обозначения: «→» – нечеткая импликация, A1i, A2i – нечеткие множества (условий), Bi1 – нечеткое

множество (вывода), µA1i (x1 ), µA2i (x2 ), µBi1 – функции принадлежности.

Нечеткая импликация Мамдани:

µB (y)= I(µA1 (x), µA2 (x))=µA1 (x)→µA2 (x)=

=min(µA1 (x), µA2 (x)).

1.3.Агрегация локальных выводов

Объединение локальных выводов Bi по каждому правилу Ri в общий вывод B называется агрегацией: B = ki=1 Bi .

где Ai – нечеткие множества с соответствующими треугольными функциями принадлежности.

Функции принадлежности Bi вычисляются по методу Заде и представляют собой следующее:

µB1 (z)=max{µA3 (z), min(µA1 (x), µA2 (y))}; µB2 (z)=max{µA4 (z), min(µA4 (x), µA2 (y))}; µB3 (z)=max{µA1 (z), min(µA3 (x), µA2 (y))}.

Общий вывод B равен:

µB (z)=µB1 (z)+µB2 (z)+µB3 (z).

8

1.4. Дефаззификация

Переход от нечеткого логического вывода B к физической величине производится с помощью операции дефаззификации (dfz) и осуществляется одним из нижеприведенных методов (рис. 4).

Рис. 4. Графическое представление методов дефаззификации

А. Дефаззификация методом центра тяжести (cog):

z (B)= ∫z µB (z) zdz,

cog ∫z µB (z)dz

где z – произведение пространств.

Б. Дефаззификация методом центра области (coa):

9

В. Дефаззификация методом среднего максимума (mom). Данный метод имеет фильтрующие свойства, так как теряется большой объем информации за счет применения α-разреза по высоте множества B:

zmom (B)=cog{B∩C},C =α−cutB α=hgtB , где С – сечение множества В.

10