Инженерные расчеты в электротехнике. Учебно-методическое пособие

СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

И.А. Гурина

ИНЖЕНЕРНЫЕ РАСЧЕТЫ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Учебно-методическое пособие

Москва Ай Пи Ар Медиа

2026

3

Введение

В профессиональной подготовке студента укрупненной группы направлений подготовки высшего образования «Электро- и теплоэнергетика» дисциплина «Инженерные расчеты в электротехнике» относится к вариативной части естественнонаучного цикла дисциплин. В ее сферу входит изучение вопросов автоматизации вычислений при решении учебных и профессиональных задач в области электротехники, рациональное применение различных современных численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д.

Целью выполнения контрольных работ является изучение современных методов решения инженерно-технических задач с использованием современных информационных технологий; формирование представлений, первичных знаний, умений и навыков о прикладных средствах методов вычислений, основных вычислительных схемах алгоритмов численного анализа; о месте и роли вычислительной математики в обществе и профессиональной деятельности инженераэлектрика.

В результате студент должен научиться использовать эффективные и экономичные вычислительные алгоритмы для решения конкретной электротехнической задачи, а также анализировать полученные результаты.

4

Методические указания к выполнению контрольных работ

В ходе выполнения контрольных работ каждый студент выполняет индивидуальное задание, которое состоит из четырех разделов:

1.Теоретический вопрос.

2.Решение нелинейных уравнений различными методами.

3.Методы расчета систем линейных алгебраических уравнений.

4.Расчет обыкновенных дифференциальных различными методами

Номера индивидуальных заданий по каждому из разделов опреде-

ляются по порядковому номеру студента в списке группы и выдаются преподавателем.

Изучив необходимые литературные источники и техническую документацию, необходимо осветить вопрос первого раздела, определенный номером задания. Не следует ограничиваться литературой, приведенной в данном учебно-методическом пособии, рекомендуется обращаться к другим литературным источникам, журналам, сборникам и электронным информационным ресурсам.

Во втором разделе необходимо определить корни заданного нелинейного уравнения различными методами.

В третьем разделе выполняется расчет коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений, к решению которых сводится большинство задач электротехники.

В четвертом разделе различными методами решается обыкновенное дифференциальное уравнение.

Краткие теоретические сведения

Решение нелинейных уравнений

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F(x)=0 встречается в различных областях научных и инженерных исследований.

Методы решения нелинейных уравнений делят на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Например, корни квадратного уравнения.

Однако на практике чаще встречаются уравнения, которые не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Здесь процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному.

5

Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

1)отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2)уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной степени точности.

если на этом отрезке уравнение f(x)=0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами – графическим и аналитическим.

При графическом методе поступают следующим образом: строят график функции y=f(x) для уравнения f(x)=0 или представляют уравнения в виде (x)= g(x) и строят графики функций y(x)= (x) и у(x)=g(x). Зна-

чения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков функций y(x)= (x) и у(x)=g(x). Отрезки, в которых

заключаются только по одному корню, легко находятся.

Пример. Пусть кривая графика функции y=f(x) трижды пересекает ось абсцисс уравнение имеет три простых корня (Рис. 1).

Если же кривая касается оси абсцисс, то уравнение имеет двукрат-

Рис 2 б

6

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в

месте касания с осью кривая график y=f(x) имеет точку перегиба (рис. 3).

y

x1=x2=x3 x

Рис. 3.

Графический метод отделения корней не обладает большой точностью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции корня. Далее корни уточняются другими способами.

Аналитическим методом корни уравнения f(x)=0 можно отделить, используя свойства функции из курса математики.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует, по крайней мере, один корень уравнения f(x)=0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b], содержится корень уравнения f(x)=0, и этом корень единственный.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x)=0 и притом единственный.

Точки, в которых производная функции равна нулю, а также те, в которых она не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими (признак экстремума)

Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Этих значений функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка.

Следовательно, чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, надо:

1)определить критические точки функции;

2)вычислить значения функции в них и на концах отрезка [a, b];

3)наибольшее из значений, найденных в п. 2) будет наибольшим, наименьшее – наименьшим значением функции на отрезке.

7

Используя эти обозначения, запишем систему (2) следующим образом:

Эта система называется системой, приведенной к нормальному виду. Её можно записать в таком виде:

10