Инженерные расчеты в электротехнике. Учебно-методическое пособие

Координатная запись (3) выглядит так:

Решим систему (4) методом итерации. Для этого за нулевое приближение примем столбец свободных членов:

Следующие приближения «строят» в такой последовательности:

Пример. Методом простой итерации решить систему

Решение: 1) Приведем систему к нормальному виду:

2) Строим последовательные приближения

Первое приближение:

Второе приближение:

i = max xi( 2) − xi(3)

1 = 2,992 − 2,9935 = 0,0015

2 = 1,026 −1,0068 = 0,0192

3 = 2

ограничиться тремя итерациями.

Условия сходимости итерационного процесса.

Сходимость итерационного процесса зависит от величины элементов матрицы следующим образом: если сумма модулей элементов строк или элементов столбцов меньше единицы, то процесс итерации для данной системы сходится к единственному решению независимо от выбора начального приближения.

Сказанное записывается в виде неравенств:

11 + 12 + 13 = 0 + 0,125 + 0,125 = 0,25 1

31 + 32 + 33 = 0,2 + 0,2 + 0 = 0,4 1

следовательно, сформулированные достаточные условия выполняются. Итерационный процесс сходится.

Блок-схема метода простой итерации.

начало

ввод данных

выбор начальных приближений

вычисление новых значений

Исходными данными для алгоритма являются: массив коэффициентов А; В - массив свободных членов системы, = ( i = 1,...,n) - начальное приближенное решение, Е - заданная погрешность уточнения решения.

13

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

В практике инженерных расчетов часто возникает необходимость решения дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнения, берутся только по одной переменной, то дифференциальные уравнения называются обыкновенными. Если в уравнениях встречаются производные по нескольким переменным, то уравнения называ-

ются уравнениями в частных производных.

Далее мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные

интегральные кривые составляют целое семейство (рис. 4) (интегральная кривая называется решением).

3

2

1

Рис. 4

Если в дополнение к дифференциальному уравнению задать значение y для некоторого значения х, то можно определить постоянную С.

14

Например, предположим, что решение (1) должно проходить через точку х=0; у=1, что обычно записывается в следующем виде:

у (0) = 1 (6)

При этом легко найти, что постоянная С равна 1 и что из всего семейства интегральных кривых, приведенных на рис. 4, только одна удовлетворяет

Существует множество приемов для нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные или специальные функции. Однако очень часто в практических задачах такие методы или вообще не приемлемы, или приводят к таким сложным решениям, что затраты труда на их получение или на соответствующе расчеты превосходят все допу-

имеет элементарного решения.

В большинстве практических задач коэффициенты или функции в дифференциальном уравнении могут содержать существенные нелинейности или даже задаваться в виде таблиц экспериментальных данных. Для таких уравнений единственно эффективным методом решения становятся численные методы.

Требуется найти решение y=y(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Такая задача называется задачей Коши. Геометрический смысл решения этой задачи состоит в нахождении кривой y=y(x), проходящей че-

Рис. 5. График интегральной кривой y=y(x), проходящей через точку A0 (x0 , y0 )

15

динатную плоскость и соединив их отрезками, получим ломанную Эйлера

– приближенное изображение истинного решения (Рис. 7). Таким образом искомое решение у=у(х) заменяется приближенно ломаной линией. Получим погрешность такого подхода чисто геометрически.

гральной кривой. Тогда мы можем провести касательную к этой кривой в

показано на рис. 7, где кривая представляет собой точное, но, конечно неизвестное решение уравнения, а прямая L1 - касательная в точке xk , yk . Тогда следующей точкой решения можно считать ту, где прямая L1 пере-

16

Полученное соотношение (8) есть расчетная формула метода Эйлера. По-

Рис. 8. Геометрическое представление метода Эйлера.

Формула (8) описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного решения дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую погрешность, кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым – малая ошибка (возникающая в результате округления или заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом х.

Применяется метод Эйлера в основном тогда, когда не требуется очень большой точности и нужно иметь представление о поведении решения рассматриваемой задачи Коши.

17

Исправленный метод Эйлера

Увеличение точности метода Эйлера сводится геометрически к уменьшению длины отрезка r. (Рис. 8). Для выяснения пути достижения этого, выполним следующее геометрическое построение (Рис. 9).

Рис. 9. Геометрическое представление исправленного метода Эйлера

Как видно из рис. 9, нам нужно найти точку пересечения прямой L с отрезком ВС. Эта задача решается следующим образом. С помощью

В этой точке снова вычислим тангенс угла наклона прямой L2 . Усред-

18

Оценка погрешности в точке xi может быть получена с помощью «двойного просчета». Сначала расчет выполняется с шагом h . Затем с

и приведем последовательность действий при работе с формулой (13): 1. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками

4.Пункты 2-4 повторяем до тех пор, пока не будут найдены значения yk

во всех точках xk , k = 1, N отрезка [a,b].

Пример: Используя метод Эйлера, найти значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением

при начальном условии y(0)=1; шаг h=0,1. Ограничиться отысканием первых четырех значений у.

Решение. Находим последовательные значения аргумента: x0 = 0 ,

Рассмотрим теперь пример, для которого известно точное решение, что дает возможность в рассматриваемом частном случае непосредственно определить точность рассмотренных приближенных методов.