Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Инженерные расчеты в электротехнике. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

730 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Выполним теперь вычисления по исправленному методу Эйлера-Коши с длиной шага h=0,2. Для этого составим следующую таблицу:

x	n

{1}

0,2

0,4

0,6

y	n	−		2x		n	h	f
y		−				n		f
				y			2		n
{2}					n		2

							{4}=

(из {10})			{3}=
			{3}=				{2}+{3}
			{2}*			{1}

		−
		−		{2}			{10}
							{10}

1				0			0,1

1,18667 -0,3371 0,08496

1,34832 -0,5933 0,07549

1,49372 -0,8034 0,06904

~
y	n +1

{5}=

{2}+

{2}*{4}

1,2

1,35658

1,49932

1,63179

x	n+1

{6}

0,2

0,4

0,6

0,8

		2x			~
−		2x		n+1	f
				n+1		n +1
		y				n +1
		y	n+1		{8}=
			n+1
	{7}=
	{7}=				{5}+
	{2}*{6}				{5}+
−	{2}*{6}				{7}
−		{5}			{7}
		{5}

-0,33333 0,8667

-0,58972 0,7669

-0,80036 0,6990

-0,98052 0,6513

h			~				y
2	( f	n	+ f		nn	)	y	n+1
	( f		+ f			)

							{10}=
	{9}=						{10}=
	{9}=						{2}+
				{8}			{2}+
{4} +				{8}
{4} +							{9}
			{10}				{9}
			{10}
0,18667							1,18667
0,16165							1,34832
0,24540							1,49372
0,23416							1,62788

В приведенной ниже таблице произведено сравнение с точным ре-

шением

y =

, причем представлены и результаты, полученные с

помощью более точного метода Рунге-Кутта, расчетные формулы которого приводятся далее. В скобках приведены разности между приближенным и точным решением.

Точное

Хрешение

y =

2x +1

0,2 1,183216

0,4 1б3416407

0,6 1б4832397

Методы		Метод Рунге-Кутта

Эйлера-Коши	ломаных
Эйлера-Коши	ломаных
h=0,2	h=0,2	h=0,4	h=0,2
h=0,2	h=0,2	h=0,4	h=0,2
1,18667	1,2		1,83229
(0,00345)	(0,01678)		(0,0000132)
1,34832	1,37333	1,342066	1,341669
(0,00668)	(0,00317)	(0,000425)	(0,0000261)
1,49372	1,53149		1,4832847
(0,0105)	(0,04825)		(0,000045)

Анализ таблицы показывает, что метод ломаных и исправленный метод Эйлера-Коши дают умеренную точность на коротком промежутке. При этом исправленный метод ощутимо точнее первого. Метод РунгеКутта как видно из полученных погрешностей обладает гораздо большей точностью.

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта – один из наиболее употребляемых методов повышенной точности. Приведем последовательность вычислений и расчетные формулы для дифференциального уравнения первого порядка.

1. Отрезок [a,b] разбивают на n равных частей точками (узлами)

		+ ih (i =		b − a
xi	= x0		1, N) ; h =		, x0 = a, xn = b
				n

2. Находят для каждого узла (для каждого i ) (i = 0, N) значения

(i)

= hf ( x

, y

(i)

= hf x +

, y

(i)

= hf x +

, y

(i)

= hf (x + h, y

+ hq

(i)

)

3. Вычисляют

( q

(i)

+ q

(i)

+ q

(i)

+ q

(i)

)

4. Определяют

последовательные

приближенные значения

(i = 1, N)

искомой функции у=у(х)

i+1

= y

+ y

Метод Рунге-Кутта имеет четвертый порядок точности решения. Для большинства задач он дает хорошие результаты, причем точность существенно возрастает с уменьшением шага h.

Индивидуальные задания к контрольным работам

Индивидуальные задания по первому разделу

1.Точные и приближенные числа.

2.Источники погрешностей. Основные виды погрешностей.

3.Классификация уравнений в зависимости от количества уравнений и предполагаемого характера решения.

4.Отделение корней нелинейных уравнений аналитическим и графическим способами.

5.Прямые и итерационные методы решения.

6.Уточнение корней нелинейных уравнений методом половинного деления. Основные расчетные формулы, блок-схема, достоинства и недостатки.

7.Уточнение корней нелинейных уравнений методом простой итерации.

8.Уточнение корней нелинейных уравнений методом Ньютона.

9.Решение систем линейных алгебраических уравнений. Основные понятия.

10.Прямые и итерационные методы решения СЛАУ (общая характеристика).

11.Итерационные методы решения СЛАУ.

12.Метод простой итерации. Метод Зейделя. Сравнительная характеристика методов.

13.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Основные понятия.

14.Одношаговые методы решения ОДУ.

15.Решение ОДУ методами Эйлера и Рунге-Кутта.

16.Постановка задачи о приближении функции.

17.Понятие о точечной и непрерывной аппроксимации.

18.Интерполирование функции.

19.Линейная и квадратичная интерполяция.

20.Эмпирические формулы. Выбор вида эмпирической формулы.

21.Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом выбранных точек.

22.Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом средних

23.Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом наименьших квадратов.

24.Численное интегрирование. Основные понятия.

25.Метод прямоугольников.

26.Метод трапеций.

27.Метод Симпсона.

Общие сведения о задачах линейного программирования.

Индивидуальные задания по второму разделу

Определить корни заданного уравнения различными методами

№ вар.	заданное уравнение																										точность вычислений
1			0,25x									3		− x						+1,25 = 0							0.0001
1			0,25x											− x						+1,25 = 0							0.0001

2				3x + cosx + 1 = 0																							0.0001
3					2 - x + ln x = 0																						0.01
4		2sin(x-0,6)-1,5-x=0																									0.01
5					x		2		+ 4 sin x = 0																		0.1
					x				+ 4 sin x = 0


6					5x - 8 ln x = 0																						0.001
7				cos x - x + 10 = 0																							0.0001
8							3x −14+ e															x	= 0				0.001
							3x −14+ e																= 0

9					3 x - 4 ln x = 0																						0.0001
10						x + cos x = 0																					0.001
11		3x			4	+			4x						3	−12 x − 5 = 0											0.01
11		3x				+			4x							−12 x − 5 = 0											0.01
12								x4 − x −1 = 0																			0.01
13	2x	3		− 9x					2				− 60 x = 0														0.01
13	2x			− 9x									− 60 x = 0														0.01
14					x4 −18x2 + 6 = 0																						0.01
15					2x				4				− x				2			−10 = 0							0.01
15					2x								− x							−10 = 0							0.01
16						x		3		−				18 x					2		+ 6 = 0						0.01
16						x				−				18 x							+ 6 = 0						0.01
17								x			4			− x −1 = 0													0.01
17								x						− x −1 = 0													0.01
18							(0,2 x)											3		= cos x							0.1
18							(0,2 x)													= cos x							0.1

19								x -10sin x = 0																			0.01
20							sin x - 0,2 x = 0																				0.01
21								8cos x - x = 6																			0.01
22	1,2x	4		+ 2x						3			− 24,1 =										13x		2	+14,2x	0.001
22	1,2x			+ 2x									− 24,1 =										13x			+14,2x	0.001

23				10cos x - 0,1x																			2	= 0			001
23				10cos x - 0,1x																				= 0			001

24					4 cos x + 0,3x = 0																						0.001
24																											0.001
25										2x 2 − 5 = 2x																	0.01
26					x4 −18x2 + 6 = 0																						0.1
27		5x + cosx + 10 = 0																									0.01
28				2 - sinx + 5x = 0																							0.001

Индивидуальные задания по третьему разделу

Систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными


a	11	x	+ a	12	x	2		+ a	13		x		3		= b
	11	1		12		2			13				3		1
a	21	x	+ a	22	x		2	+ a		23		x		3	= b
	21	1		22			2			23				3	2
a	31	x	+ a	32	x		2	+ a		33		x		3	= b
	31	1		32			2			33				3	3

решить методом простой итерации с точностью Е=0.0001, приведя ее к виду, удобному для итераций. Коэффициенты и свободные члены заданной системы уравнений по вариантам приведены в таблице.

№	i	a	i 1	a	i 2	a	b	№	i	a	i 1	a	i 2	a	b
			i 1		i 2	i 3	i				i 1		i 2	i 3	i
1	1	3,3			2,7	1,3	2,1	16	1		2,8		1,7	1,9	0,7
	2	-1,7			3,5	2,8	1,7		2		2,1		3,4	1,8	1,1
	3	4,1			-1,7	5,8	0,8		3		1,3		-1,7	4.2	2,8

2	1	3,1			2,8	1,9	0,2	17	1		9,1		5,6	7,8	9,8
	2	1,9			3,1	2,1	2,1		2		3,8		5,1	2,8	6,7
	3	3,8			4,8	7,5	5,6		3		4,1		1,2	5,7	5,8

3	1	3,3			2,1	2,8	0,8	18	1		7,6		5,8	4,7	10,1
	2	3,7			4,8	4,1	5,7		2		3,8		4,1	2,7	9,7
	3	1,8			1,1	2,7	3,2		3		2,9		2,1	3,8	7,8

4	1	3,7			-2,5	3,2	6,5	19	1		5,4		-2,3	3,4	-3,5
	2	0,5			1,7	0,34	-0,24		2		1,7		4,2	-2,3	2,7
	3	1,6			-1,5	2,3	4,3		3		3,4		2,4	7,4	1,9

5	1	3,6			1,8	-4,7	3,8	20	1		5,6		2,7	-1,7	1,9
	2	-3,6			2,7	1,9	0,4		2		-3,6		3,4	-6,7	-2,4
	3	1,5			3,3	4,5	-1,6		3		0,8		1,3	3,7	1,2

6	1	2,7			0,9	-1,5	3,5	21	1		7,4		-3,5	4,5	2,5
	2	4,5			6,7	-2,8	2,6		2		-0,6		3,1	-2,3	-1,5
	3	3,7			-1,4	5,1	-0,14		3		0,8		-0,5	7,4	6,4
7	1	6,7			3,8	-1,2	5,2	22	1		5,4		-6,2	-0,5	0,52
	2	1,3			6,4	-2,7	3,8		2		2,3		3,4	0,8	-0,8
	3	2,4			-4,5	3,5	-0,6		3		2,4		-1,1	3,8	1,8

8	1	7,8			5,3	4,8	1,8	23	1		4,1		3,8	-2,3	4,8
	2	1,1			3,3	1,8	2,3		2		-2,1		3,9	-5,8	3,3
	3	3,3			2,8	4,5	3,4		3		1,1		-2,1	1,8	5,8

9	1	3,0			-2,2	1,7	1,8	24	1		3,8		2,8	-3,2	4,5
	2	2,1			1,9	-2,3	2,8		2		2,5		3,3	-2,8	7,1
							25

	3	3,9	-3,1	4,2	5,1		3	4,8	-7,1	6,5	6,3

10	1	4,2	3,3	3,7	5,8	25	1	7,1	6,8	6,1	7,0
	2	2,3	2,7	-2,9	6,1		2	4,8	5,0	4,3	6,1
	3	4,1	-4,8	5,0	7,0		3	7,1	7,8	8,2	5,8

11	1	4,0	3,7	3,1	5,0	26	1	5,2	4,1	-5,8	7,0
	2	4,1	4,5	-4,8	4,9		2	4,0	4,8	-3,1	5,3
	3	-2,1	-3,7	1,8	2,7		3	-7,8	5,3	6,3	5,8

12	1	4,5	-2,3	3,7	2,4	27	1	6,3	5,2	-0,6	1,5
	2	2,5	4,7	-7,8	3,5		2	3,4	5,3	3,4	2,7
	3	1,6	1,3	5,3	-2,4		3	0,8	1,4	3,5	-2,3

13	1	2,3	1,5	-3,7	4,5	28	1	2,7	0,9	-3,8	2,4
	2	2,8	5,8	3,4	-3,2		2	2,5	5,8	-0,5	3,5
	3	1,2	-2,3	7,3	5,6		3	3,2	-2,1	4,5	-1,2

14	1	2,4	2,3	-2,9	4,5	29	1	5,4	-2,5	3,8	5,5
	2	0,8	3,5	-1,4	3,2		2	2,5	6,8	-1,1	4,3
	3	1,5	-2,3	8,6	-5,5		3	1,5	-0,6	2,7	-3,5

15	1	3,7	2,4	-8,3	2,3	30	1	3,8	11,5	3,2	2,8
	2	1,8	4,3	1,2	-1,2		2	0,8	1,3	-6,4	-6,5
	3	3,4	-2,3	5,2	3,5		3	2,4	-1,2	7,2	4,5

Индивидуальные задания по четвертому разделу

Решить задачу Коши

нения первого порядка	y ' =

для f (x

обыкновенного дифференциального урав-

, y	на отрезке [a,b] при заданном началь-
)

ном условии y(a)=c и шаге интегрирования h, используя метод Эйлера и метод Рунге-Кутта (исходные данные задания содержатся в таблице):

Вариант

Уравнение

xy 3 − x 2

4x	2	+1 − 3y	2

(		)
cos 1,5x − y 2
x 2 + xy + y 2
e −( y +1)	+ 2x

cos(1,5y + x)2

4,1x − y	2	+ 0,6

1/ (1+ x 3 y) + 2y

a	b	c	h
4	5	0,7	0,1
2,6	4,6	1,8	0,2
-1	1	0,2	0,2
2	3	1,2	0,1
0	0,5	0,3	0,05
0	0,5	0,3
1	2	0,9	0,1
1	2	0,9
0,6	2,6	3,4	0,2
1,5	2	2,1	0,05

x + cos( y

11 )

2xy/(x+4)-0,4

2x+cos(y+0,6)

x + 2,5y 2 + 2


2 − sin(x + y)							2

2y/(x+2)+x+1
x+cos(y/2)
x	2	+ 0,5y			2

Sin(x+y)+1,5
0,3x		2	+ 0,1y			2

x + cos( y					5)
x+cos(y/3)
cos y / x +				3y				2

cos(x+y)+0,5x

cos x / 0,5y 2

0,6sinx-1,25y

1+0,8y sin x-2y

0,133x	2	+ 0,8y
0,133x		+ 0,8y
x + cos		y
x + cos		10
		10
x + cos		y
x + cos		2,25
		2,25

2,1	3,1	2,5	0,1

3	5	1,7	0,2

1	3	1,5	0,2

1	2	0,9	0,1

2	3	2,3	0,1
0,1	0,5	1,25	0,05

-2	-1	3	0,1

0	2	2,9	0,2
1,5	2,5	0,5	0,1

2,5	4,5	2	0,1
1,8	2,8	2,6	0,1

1,6	2,6	4,6	0,1

0	1	0	0,05
0	1	0	0,1

0	2	0	0,1

0	1	0	0,1

0	2	0,2	0,1

0,2	1,2	0,25	0,1
0,6	1,6	0,8	0,1
1,4	2,4	2,2	0,1

ЛИТЕРАТУРА

1.Алямовский, А.А. Инженерные расчеты в SolidWorks Simulation : учеб.пособие / Алямовский А.А. - Электронные текстовые данные.-М.: ДМК Пресс, 2010.

2.Лапчик, М.П. Численные методы : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М.П. Лапчика. – М.: Академия, 2009. – 384 с.

3.Зеньковский, В.А. Применение Excel в экономических и инженерных расчетах / В.А. Зеньковский. — Москва : СОЛОН-Пресс, 2021. —

186 c. — URL: https://www.iprbookshop.ru/141973.html.

4.Турчак Л.И. Основы численных методов. М: Наука, 1987

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]


a	11	x	+ a	12	x	2		+ a	13		x		3		= b
	11	1		12		2			13				3		1
a	21	x	+ a	22	x		2	+ a		23		x		3	= b
	21	1		22			2			23				3	2
a	31	x	+ a	32	x		2	+ a		33		x		3	= b
	31	1		32			2			33				3	3


a	11	x	+ a	12	x	2		+ a	13		x		3		= b
	11	1		12		2			13				3		1
a	21	x	+ a	22	x		2	+ a		23		x		3	= b
	21	1		22			2			23				3	2
a	31	x	+ a	32	x		2	+ a		33		x		3	= b
	31	1		32			2			33				3	3


a	11	x	+ a	12	x	2		+ a	13		x		3		= b
	11	1		12		2			13				3		1
a	21	x	+ a	22	x		2	+ a		23		x		3	= b
	21	1		22			2			23				3	2
a	31	x	+ a	32	x		2	+ a		33		x		3	= b
	31	1		32			2			33				3	3