Инженерные расчеты в электротехнике. Учебно-методическое пособие для выполнения контрольных работ по дисциплине «Инженерные расчеты в электротехнике»

Гурина И.А.

Учебно-методическое пособие для выполнения контрольных работ по дисциплине

«Инженерные расчеты в электротехнике» для студентов направления подготовки 140400.62 «Электро-

снабжение» заочной формы обучения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Гурина И.А.

Учебно-методическое пособие для выполнения контрольных работ по дисциплине

«Инженерные расчеты в электротехнике» для студентов направления подготовки 140400.62

«Электроснабжение» заочной формы обучения

Черкесск

2014

2

УДК 621.3 ББК 31.2

Г 95

Рассмотрено на заседании кафедры Электрических и информационных технологий.

Протокол № 9 от «20» 01.2014 г.

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом СевКавГГТА

Протокол № ___ от «__»_____ 2014 г.

Рецензенты: Эркенов Н.Х. – к. т. н., доцент кафедры ЭиИТ

Г95 Гурина, И.А. Инженерные расчеты в электротехнике: учебнометодическое пособие для выполнения контрольных работ по дисциплине «Инженерные расчеты в электротехнике» для студентов направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»/ И.А. Гурина. – Черкесск: БИЦ СевКавГГТА, 2014. – 28 с.

В учебно-методическом пособии приведены методические указания к выполнению контрольных работ, краткие теоретические сведения по основным разделам изучаемой дисциплины и индивидуальные задания

.

УДК 621.3 ББК 31.2

© Гурина И.А., 2014 © ФГБОУ ВПО СевКавГГТА, 2014

3

Содержание

4

Введение

В профессиональной подготовке студента направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника» дисциплина «Инженерные расчеты в электротехнике» относится к вариативной части естественнонаучного цикла дисциплин. В ее сферу входит изучение вопросов автоматизации вычислений при решении учебных и профессиональных задач в области электротехники, рациональное применение различных современных численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д.

Целью выполнения контрольных работ является изучение современных методов решения инженерно-технических задач с использованием современных информационных технологий; формирование представлений, первичных знаний, умений и навыков о прикладных средствах методов вычислений, основных вычислительных схемах алгоритмов численного анализа; о месте и роли вычислительной математики в обществе и профессиональной деятельности инженераэлектрика.

Врезультате студент должен научиться использовать эффективные

иэкономичные вычислительные алгоритмы для решения конкретной электротехнической задачи, а также анализировать полученные результаты.

5

Методические указания к выполнению контрольных работ

В ходе выполнения контрольных работ каждый студент выполняет индивидуальное задание, которое состоит из четырех разделов:

1.Теоретический вопрос.

2.Решение нелинейных уравнений различными методами.

3.Методы расчета систем линейных алгебраических уравнений.

4.Расчет обыкновенных дифференциальных различными методами

Номера индивидуальных заданий по каждому из разделов опреде-

ляются по порядковому номеру студента в списке группы и выдаются преподавателем.

Изучив необходимые литературные источники и техническую документацию, необходимо осветить вопрос первого раздела, определенный номером задания. Не следует ограничиваться литературой, приведенной в данном учебно-методическом пособии, рекомендуется обращаться к другим литературным источникам, журналам, сборникам и электронным информационным ресурсам.

Во втором разделе необходимо определить корни заданного нелинейного уравнения различными методами.

В третьем разделе выполняется расчет коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений, к решению которых сводится большинство задач электротехники.

В четвертом разделе различными методами решается обыкновенное дифференциальное уравнение.

Краткие теоретические сведения

Решение нелинейных уравнений

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F(x)=0 встречается в различных областях научных и инженерных исследований.

Методы решения нелинейных уравнений делят на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямые методы позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Например, корни квадратного уравнения.

Однако на практике чаще встречаются уравнения, которые не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Здесь процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному.

6

Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

1)отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2)уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной сте-

пени точности.

Корень уравнения f(x)=0 считается отдельным на отрезке [a, b],

если на этом отрезке уравнение f(x)=0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами – графическим и аналитическим.

При графическом методе поступают следующим образом: строят график функции y=f(x) для уравнения f(x)=0 или представляют уравнения в виде (x)= g(x) и строят графики функций y(x)= (x) и у(x)=g(x). Зна-

чения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков функций y(x)= (x) и у(x)=g(x). Отрезки, в которых

заключаются только по одному корню, легко находятся.

Пример. Пусть кривая графика функции y=f(x) трижды пересекает ось абсцисс уравнение имеет три простых корня (Рис. 1).

Если же кривая касается оси абсцисс, то уравнение имеет двукратный корень (Рис.2 а,б). Например, уравнение x3 3x 2 0 имеет три кор-

ня: x1 2, x2 x3 1

Рис 2 б

7

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в

месте касания с осью кривая график y=f(x) имеет точку перегиба (рис.3).

y

x1=x2=x3 x

Рис. 3.

Графический метод отделения корней не обладает большой точностью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции корня. Далее корни уточняются другими способами.

Аналитическим методом корни уравнения f(x)=0 можно отделить, используя свойства функции из курса математики.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует, по крайней мере, один корень уравнения f(x)=0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b], содержится корень уравнения f(x)=0, и этом корень единственный.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка существует корень уравнения f(x)=0 и притом единственный.

Точки, в которых производная функции равна нулю, а также те, в которых она не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими (признак экстремума)

Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Этих значений функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка.

Следовательно, чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, надо:

1)определить критические точки функции;

2)вычислить значения функции в них и на концах отрезка [a, b];

3)наибольшее из значений, найденных в п. 2) будет наибольшим, наименьшее – наименьшим значением функции на отрезке.

8

В связи с вышеизложенным рекомендуется следующий порядок действий для отделения корней аналитическим способом.

1.Найти первую производную - f (x).

2.Составить таблицу знаков функции f(x), полагая x равным:

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к

ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

3. Определить интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Внутри этих интервалов содержится по одному и только по одному корню.

Составляем таблицу знаков функции f(x), полагая x равным:

а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного)

Уравнение имеет два корня, т.к. происходят две перемены знака функции.

Составим новую таблицу, с более мелкими интервалами изоляции корня:

Корни уравнения заключены в промежутках (-1,0) и (4,5).

9

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Успешное решение большинства инженерно-технических задач в значительной степени зависит от умения быстро и точно получать решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). С решением систем уравнений инженер чаще всего встречается на практике. В некоторых случаях решение чисто практических задач приводит к рассмотрению СЛАУ, в других случаях задача сводится к ним.

Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы, позволяющие получить решение за конечное число арифметических действий, просты и наиболее универсальны. К ним можно отнести метод Гаусса, некоторые его модификации, метод Крамера и т.д. Последний метод практически редко применяется для систем порядка n>3. Для систем порядка n<200 на практике часто применяются прямые методы. Но при n>200 дают о себе знать ошибки округления, возникает необходимость увеличения разрядности данных.

Итерационные методы, как самоуточняющиеся (имеется в виду ненакопляемость ошибок округления), применимы для больших систем. Они позволяют для больших n разбить матрицу системы на квадратные блоки и проводить вычисления корней системы. Особенно эффективно их применение для систем со слабо заполненной матрицей (т.е. где много нулевых элементов). Что касается плохо обусловленных систем, то для них применяются методы регуляризации.

Метод простой итерации (метод Якоби)

Простейшим итерационным методом решение систем линейных уравнений является метод простой итерации. Итак, пусть дана СЛАУ

Систему (1) можно записать в матрично-векторном виде, если ввести следующие обозначения:

10