Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Инженерные расчеты в электротехнике. Учебно-методическое пособие для выполнения контрольных работ по дисциплине «Инженерные расчеты в электротехнике»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

738 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

деляемой дифференциальным уравнением

при начальном условии y(0)=1; шаг h=0,1. Ограничиться отысканием первых четырех значений у.

Решение. Находим последовательные значения аргумента: x0 0 ,

x0 0,1, x0 0,2 ,				x0 0,3. Вычислим соответствующие значения искомой
функции:
	y1	y0	hf (x0 , y0 ) 1 0,1* (1 0) /(1 0)				1,1
	y2	y1	hf (x1, y1 ) 1,1 0,1* (1,1 0,1) /(1,1 0,1) 1,183
	y3	y2	hf (x2 , y2 ) 1,183 0,1* (1,183 0,2) /(1,183 0,2)					1,254
	y4	y3 hf (x3 , y3 ) 1,254 0,1* (1,254 0,3) /(1,254 0,3) 1,315
Таким образом, получаем таблицу:

	Х		0		0,1	0,2	0,3	0,4

	У		1		1,1	1,18	1,25	1,31

Рассмотрим теперь пример, для которого известно точное решение, что дает возможность в рассматриваемом частном случае непосредственно определить точность рассмотренных приближенных методов.

Дано уравнение	y ' y	2x
		y

у(0)=1

Точное решение задачи (10), (11):

y 2 x 1

(14)

(15)

(16)

Расчетные формулы настолько просты в употреблении, что техническую сторону работы с ними можно непосредственно усвоить из приведенных ниже схем. В первой схеме приведем вычисления по методу Эйлера (ломанных) при длине шага h=0,2. При этом для удобства восприятия, отдельные выражения, стоящие в заголовке таблицы, обозначим символами {1}, {2}, {3} …. С помощью этих обозначений последовательные операции запишем так, что дальнейшие вычисления можно будет проводить, не обращаясь к формулам. Благодаря этому весь процесс счета сильно упрощается.

Составим следующим следующую таблицу для метода ломанных

	yn			2xn	hf n	yn1	Точное реше-
xn				2xn				ние
				yn				ние

							y		2x 1
{1}	{2}				{4}	{5} =	y		2x 1
{1}	(из {5})		{3}		({3}+{2})/{5}	{2}+{4}
	(из {5})		{3}		({3}+{2})/{5}	{2}+{4}

0	1		0		0,2	1,2		1

0,2	1,2	-0,33333			0,17333	1,37333	1,18321

0,4	1,37333	-0,582524			0,15816	1,53149	1,34164
0,6	1,53149	-0,78355			0,141588	1,681078	1,48324

					21

Выполним теперь вычисления по исправленному методу ЭйлераКоши с длиной шага h=0,2. Для этого составим следующую таблицу:


				2xn		h		~				2xn 1	~	h		~
xn	yn					h	fn	yn 1	xn1				f n 1		( fn	fnn )		yn 1
														2
					2
				yn								yn 1
								{5}=					{8}=					{10}=
{1}	{2}								{6}						{9}=
{1}	{2}	{3}=			{4}=				{6}	{7}=					{9}=
	(из {10})				{4}=			{2}+					{5}+			{8}		{2}+
	(из {10})				{2} {3}			{2}+					{5}+			{8}		{2}+
			{2}*{1}		{2} {3}			{2}*{4}			{2}*{6}		{7}	{4}				{9}
																	{10}
					{10}

		{2}								{5}
		{2}								{5}

0	1	0			0,1			1,2	0,2	-0,33333			0,8667	0,18667				1,18667

0,2	1,18667	-0,3371			0,08496			1,35658	0,4	-0,58972			0,7669	0,16165				1,34832

0,4	1,34832	-0,5933			0,07549			1,49932	0,6	-0,80036			0,6990	0,24540				1,49372

0,6	1,49372	-0,8034			0,06904			1,63179	0,8	-0,98052			0,6513	0,23416				1,62788

В приведенной ниже таблице произведено сравнение с точным решением y 2x 1 , причем представлены и результаты, полученные с помощью более точного метода Рунге-Кутта, расчетные формулы которого приводятся далее. В скобках приведены разности между приближенным и точным решением.

	Точное		Методы		Метод Рунге-Кутта
	Точное
Х	решение		Эйлера-Коши	ломаных
	решение


	y	2x 1	h=0,2	h=0,2	h=0,4	h=0,2

0,2	1,183216		1,18667	1,2		1,83229
0,2	1,183216		(0,00345)	(0,01678)		(0,0000132)
			(0,00345)	(0,01678)		(0,0000132)
0,4	1б3416407		1,34832	1,37333	1,342066	1,341669
0,4	1б3416407		(0,00668)	(0,00317)	(0,000425)	(0,0000261)
			(0,00668)	(0,00317)	(0,000425)	(0,0000261)
0,6	1б4832397		1,49372	1,53149		1,4832847
0,6	1б4832397		(0,0105)	(0,04825)		(0,000045)
			(0,0105)	(0,04825)		(0,000045)

Анализ таблицы показывает, что метод ломаных и исправленный метод Эйлера-Коши дают умеренную точность на коротком промежутке. При этом исправленный метод ощутимо точнее первого. Метод РунгеКутта как видно из полученных погрешностей обладает гораздо большей точностью.

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта – один из наиболее употребляемых методов повышенной точности. Приведем последовательность вычислений и расчетные формулы для дифференциального уравнения первого порядка.

1. Отрезок [a,b] разбивают на n равных частей точками (узлами)

b a

ih (i 1, N) ;

2. Находят для каждого узла (для каждого i ) (i 0, N) значения

q1(i)

q(i)2

q3(i)

q(i)4

hf (xi , yi ),

(i)

, yi

hq1

hf xi

(i)

, yi

hq2

hf xi

hf x

h, y

hq(i)

3. Вычисляют	yi	1	( q1(i) q(i)2 q3(i)	q(i)4 )

	6
4. Определяют	последовательные			приближенные значения			yi
					yi	yi
(i 1, N) искомой функции у=у(х)				yi 1

Метод Рунге-Кутта имеет четвертый порядок точности решения. Для большинства задач он дает хорошие результаты, причем точность существенно возрастает с уменьшением шага h.

Индивидуальные задания к контрольным работам

Индивидуальные задания по первому разделу

1.Точные и приближенные числа.

2.Источники погрешностей. Основные виды погрешностей.

3.Классификация уравнений в зависимости от количества уравнений и предполагаемого характера решения.

4.Отделение корней нелинейных уравнений аналитическим и графическим способами.

5.Прямые и итерационные методы решения.

6.Уточнение корней нелинейных уравнений методом половинного деления. Основные расчетные формулы, блок-схема, достоинства и недостатки.

7.Уточнение корней нелинейных уравнений методом простой итерации.

8.Уточнение корней нелинейных уравнений методом Ньютона.

9.Решение систем линейных алгебраических уравнений. Основные понятия.

10.Прямые и итерационные методы решения СЛАУ (общая характеристика).

11.Итерационные методы решения СЛАУ.

12.Метод простой итерации. Метод Зейделя. Сравнительная характеристика методов.

13.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Основные понятия.

14.Одношаговые методы решения ОДУ.

15.Решение ОДУ методами Эйлера и Рунге-Кутта.

16.Постановка задачи о приближении функции.

17.Понятие о точечной и непрерывной аппроксимации.

18.Интерполирование функции.

19.Линейная и квадратичная интерполяция.

20.Эмпирические формулы. Выбор вида эмпирической формулы.

21.Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом выбранных точек.

22.Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом средних

23.Определение наилучших параметров эмпирической формулы методом наименьших квадратов.

24.Численное интегрирование. Основные понятия.

25.Метод прямоугольников.

26.Метод трапеций.

27.Метод Симпсона.

Общие сведения о задачах линейного программирования.

Индивидуальные задания по второму разделу

Определить корни заданного уравнения различными методами

№ вар.	заданное уравнение	точность вычислений
1	0,25x3 x 1,25 0	0.0001
2	3x + cosx + 1 = 0	0.0001
3	2 - x + ln x = 0	0.01
4	2sin(x-0,6)-1,5-x=0	0.01
5	x2 4 sin x 0	0.1
6	5x - 8 ln x = 0	0.001
7	cos x - x + 10 = 0	0.0001
8	3x 14 ex 0	0.001
9	3 x - 4 ln x = 0	0.0001
10	x + cos x = 0	0.001
11	3x4 4x3 12x 5 0	0.01
12	x4 x 1 0	0.01
13	2x3 9x2 60x 0	0.01
14	x4 18x2 6 0	0.01
15	2x4 x2 10 0	0.01
16	x3 18x2 6 0	0.01
17	x4 x 1 0	0.01
18	(0,2x)3 cos x	0.1
19	x -10sin x 0	0.01
20	sin x - 0,2x 0	0.01
21	8cos x - x 6	0.01
22	1,2x4 2x3 24,1 13x2 14,2x	0.001
23	10cos x - 0,1x2 0	001
24	4 cos x 0,3x 0	0.001
25	2x2 5 2x	0.01
26	x4 18x2 6 0	0.1
27	5x + cosx + 10 = 0	0.01
28	2 - sinx + 5x = 0	0.001

Индивидуальные задания по третьему разделу

Систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3

решить методом простой итерации с точностью Е=0.0001, приведя ее к виду, удобному для итераций. Коэффициенты и свободные члены заданной системы уравнений по вариантам приведены в таблице.

№	i	ai 1	ai 2	ai 3	bi	№	i	ai 1	ai 2	ai 3	bi
1	1	3,3	2,7	1,3	2,1	16	1	2,8	1,7	1,9	0,7
	2	-1,7	3,5	2,8	1,7		2	2,1	3,4	1,8	1,1
	3	4,1	-1,7	5,8	0,8		3	1,3	-1,7	4.2	2,8

2	1	3,1	2,8	1,9	0,2	17	1	9,1	5,6	7,8	9,8
	2	1,9	3,1	2,1	2,1		2	3,8	5,1	2,8	6,7
	3	3,8	4,8	7,5	5,6		3	4,1	1,2	5,7	5,8

3	1	3,3	2,1	2,8	0,8	18	1	7,6	5,8	4,7	10,1
	2	3,7	4,8	4,1	5,7		2	3,8	4,1	2,7	9,7
	3	1,8	1,1	2,7	3,2		3	2,9	2,1	3,8	7,8

4	1	3,7	-2,5	3,2	6,5	19	1	5,4	-2,3	3,4	-3,5
	2	0,5	1,7	0,34	-0,24		2	1,7	4,2	-2,3	2,7
	3	1,6	-1,5	2,3	4,3		3	3,4	2,4	7,4	1,9

5	1	3,6	1,8	-4,7	3,8	20	1	5,6	2,7	-1,7	1,9
	2	-3,6	2,7	1,9	0,4		2	-3,6	3,4	-6,7	-2,4
	3	1,5	3,3	4,5	-1,6		3	0,8	1,3	3,7	1,2

6	1	2,7	0,9	-1,5	3,5	21	1	7,4	-3,5	4,5	2,5
	2	4,5	6,7	-2,8	2,6		2	-0,6	3,1	-2,3	-1,5
	3	3,7	-1,4	5,1	-0,14		3	0,8	-0,5	7,4	6,4
7	1	6,7	3,8	-1,2	5,2	22	1	5,4	-6,2	-0,5	0,52
	2	1,3	6,4	-2,7	3,8		2	2,3	3,4	0,8	-0,8
	3	2,4	-4,5	3,5	-0,6		3	2,4	-1,1	3,8	1,8

8	1	7,8	5,3	4,8	1,8	23	1	4,1	3,8	-2,3	4,8
	2	1,1	3,3	1,8	2,3		2	-2,1	3,9	-5,8	3,3
	3	3,3	2,8	4,5	3,4		3	1,1	-2,1	1,8	5,8

9	1	3,0	-2,2	1,7	1,8	24	1	3,8	2,8	-3,2	4,5
	2	2,1	1,9	-2,3	2,8		2	2,5	3,3	-2,8	7,1
					26

	3	3,9	-3,1	4,2	5,1		3	4,8	-7,1	6,5	6,3

10	1	4,2	3,3	3,7	5,8	25	1	7,1	6,8	6,1	7,0
	2	2,3	2,7	-2,9	6,1		2	4,8	5,0	4,3	6,1
	3	4,1	-4,8	5,0	7,0		3	7,1	7,8	8,2	5,8

11	1	4,0	3,7	3,1	5,0	26	1	5,2	4,1	-5,8	7,0
	2	4,1	4,5	-4,8	4,9		2	4,0	4,8	-3,1	5,3
	3	-2,1	-3,7	1,8	2,7		3	-7,8	5,3	6,3	5,8

12	1	4,5	-2,3	3,7	2,4	27	1	6,3	5,2	-0,6	1,5
	2	2,5	4,7	-7,8	3,5		2	3,4	5,3	3,4	2,7
	3	1,6	1,3	5,3	-2,4		3	0,8	1,4	3,5	-2,3

13	1	2,3	1,5	-3,7	4,5	28	1	2,7	0,9	-3,8	2,4
	2	2,8	5,8	3,4	-3,2		2	2,5	5,8	-0,5	3,5
	3	1,2	-2,3	7,3	5,6		3	3,2	-2,1	4,5	-1,2

14	1	2,4	2,3	-2,9	4,5	29	1	5,4	-2,5	3,8	5,5
	2	0,8	3,5	-1,4	3,2		2	2,5	6,8	-1,1	4,3
	3	1,5	-2,3	8,6	-5,5		3	1,5	-0,6	2,7	-3,5

15	1	3,7	2,4	-8,3	2,3	30	1	3,8	11,5	3,2	2,8
	2	1,8	4,3	1,2	-1,2		2	0,8	1,3	-6,4	-6,5
	3	3,4	-2,3	5,2	3,5		3	2,4	-1,2	7,2	4,5

Индивидуальные задания по четвертому разделу

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка y ' f x, y на отрезке [a,b] при заданном началь-

ном условии y(a)=c и шаге интегрирования h, используя метод Эйлера и метод Рунге-Кутта (исходные данные задания содержатся в таблице):

Вариант	Уравнение			a	b	c	h
1		xy 3 x 2		4	5	0,7	0,1

2		4x2 1 3y2		2,6	4,6	1,8	0,2
3	cos 1,5x y		2	-1	1	0,2	0,2
3				-1	1	0,2	0,2
4	x 2 xy y 2			2	3	1,2	0,1
5	e ( y 1) 2x			0	0,5	0,3	0,05
5	e ( y 1) 2x			0	0,5	0,3
6	cos(1,5y x)2			1	2	0,9	0,1

7	4,1x y 2 0,6			0,6	2,6	3,4	0,2
8	1/ (1 x 3 y) 2y			1,5	2	2,1	0,05

9	x cos(y			2,1	3,1	2,5	0,1
			11 )				0,1
			11 )

10	2xy/(x+4)-0,4			3	5	1,7	0,2
10	2xy/(x+4)-0,4			3	5	1,7

11	2x+cos(y+0,6)			1	3	1,5	0,2
11	2x+cos(y+0,6)			1	3	1,5

12	x 2,5y 2		2	1	2	0,9	0,1

13	2 sin(x y)2			2	3	2,3	0,1
14	2y/(x+2)+x+1			0,1	0,5	1,25	0,05
14	2y/(x+2)+x+1			0,1	0,5	1,25

15	x+cos(y/2)			-2	-1	3	0,1
15	x+cos(y/2)			-2	-1	3


16		x 2 0,5y 2		0	2	2,9	0,2
17	Sin(x+y)+1,5			1,5	2,5	0,5	0,1
17	Sin(x+y)+1,5			1,5	2,5	0,5

18	0,3x 2 0,1y 2			2,5	4,5	2	0,1
							0,1
19	x cos(y 5)			1,8	2,8	2,6	0,1
19	x cos(y 5)			1,8	2,8	2,6

20	x+cos(y/3)			1,6	2,6	4,6	0,1
20	x+cos(y/3)			1,6	2,6	4,6

21	cos y / x 3y 2			0	1	0	0,05

22	cos(x+y)+0,5x			0	1	0	0,1
22	cos(x+y)+0,5x			0	1	0

23	cos x / 0,5y 2			0	2	0	0,1

24	0,6sinx-1,25y			0	1	0	0,1
24	0,6sinx-1,25y			0	1	0

25	1+0,8y sin x-2y			0	2	0,2	0,1
25	1+0,8y sin x-2y			0	2	0,2

26	0,133x 2 0,8y			0,2	1,2	0,25	0,1
27	x cos		y	0,6	1,6	0,8	0,1

			10
			10
28	x cos		y	1,4	2,4	2,2	0,1


	2,25

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

1.Алямовский, А.А. Инженерные расчеты в SolidWorks Simulation [Электронное издание]: учеб.пособие / Алямовский А.А. - Электронные текстовые данные.-М.: ДМК Пресс, 2010 - Режим доступа: http://iprbookshop.ru/7967.- ЭБС «IPRbooks», по паролю.

2.Лапчик, М.П. Численные методы [Текст]: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М.П. Лапчика. – М.: Академия, 2009. – 384 с.

3.Зеньковский, В.А.Применение Excel в экономических и инженерных расчетах [Электронное издание]: учеб.пособие / Зеньковский В.А. Электронные текстовые данные. - М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2009 - Режим до-

ступа: http://iprbookshop.ru/8678.- ЭБС «IPRbooks», по паролю.

Дополнительная литература

1.Численные методы: учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений / М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М.П. Лапчика. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 384 с.

2.Турчак Л.И. Основы численных методов. М: Наука, 1987

ГУРИНА Ирина Алексеевна

Учебно-методическое пособие для выполнения контрольных работ по дисциплине

«Инженерные расчеты в электротехнике» для студентов направления подготовки 140400.62 «Электроснабже-

ние» заочной формы обучения

Корректор Кахунова Т.А. Редактор Темирлиева Р.М.

Сдано в набор 13.01.2014 г. Формат 60х84/16 Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,8 Заказ № 1479 Тираж 100

Оригинал-макет подготовлен в Библиотечно-издательском центре СевКавГГТА

369000, г. Черкесск, ул. Ставропольская, 36

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]