Инженерные расчеты в электротехнике. Учебно-методическое пособие для выполнения контрольных работ по дисциплине «Инженерные расчеты в электротехнике»

2) Строим последовательные приближения

i max xi(2) xi(3)

1 2,992 2,9935 0,0015

2 1,026 1,0068 0,0192

3 2

Если требуемая точность выполнения 10 2 , то можно в данном случае ограничиться тремя итерациями.

Условия сходимости итерационного процесса.

Сходимость итерационного процесса зависит от величины элементов матрицы следующим образом: если сумма модулей элементов строк или элементов столбцов меньше единицы, то процесс итерации для данной системы сходится к единственному решению независимо от выбора начального приближения.

Сказанное записывается в виде неравенств:

следовательно, сформулированные достаточные условия выполняются. Итерационный процесс сходится.

Блок-схема метода простой итерации.

начало

ввод данных

Исходными данными для алгоритма являются: массив коэффициентов А; В - массив свободных членов системы, ( i 1,...,n) - начальное приближенное решение, Е - заданная погрешность уточнения решения.

14

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

В практике инженерных расчетов часто возникает необходимость решения дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнения, берутся только по одной переменной, то дифференциальные уравнения называются обыкновенными. Если в уравнениях встречаются производные по нескольким переменным, то уравнения называ-

ются уравнениями в частных производных.

Далее мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида y ' f (x, y) .

вершиной в начале координат, но ему удовлетворяет также и всякая

функция y x2 + С, где С – произвольная постоянная. Таким образом, интегральные кривые составляют целое семейство (рис. 4) (интегральная кривая называется решением).

3

2

1

Рис. 4

Если в дополнение к дифференциальному уравнению задать значение y для некоторого значения х, то можно определить постоянную С.

15

Например, предположим, что решение (1) должно проходить через точку х=0; у=1, что обычно записывается в следующем виде:

у (0) = 1 (6)

При этом легко найти, что постоянная С равна 1 и что из всего семейства интегральных кривых, приведенных на рис.2.1, только одна удовлетворя-

ет одновременно (5) и (6): y x2 + 1.

Существует множество приемов для нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные или специальные функции. Однако очень часто в практических задачах такие методы или вообще не приемлемы, или приводят к таким сложным решениям, что затраты труда на их получение или на соответствующе расчеты превосходят все допу-

стимые пределы. Например, внешне простое уравнение y' x2 y2 не имеет элементарного решения.

В большинстве практических задач коэффициенты или функции в дифференциальном уравнении могут содержать существенные нелинейности или даже задаваться в виде таблиц экспериментальных данных. Для таких уравнений единственно эффективным методом решения становятся численные методы.

Итак, дано дифференциальное уравнение первого порядка y ' f (x, y) ,

где y ' dy / dx при начальном условии y(x0 ) y0 f(x,y) - заданная функция двух переменных x и y;

x0 , y0 - известные числа.

Требуется найти решение y=y(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Такая задача называется задачей Коши. Геометрический смысл решения этой задачи состоит в нахождении кривой y=y(x), проходящей че-

рез заданную точку A0 (x0 , y0 ) (Рис. 5).

y

y=y(x)

A0 (x0 , y0 ) у

y0

0

Рис. 5. График интегральной кривой y=y(x), проходящей через точку A0 (x0 , y0 )

16

Методы численного решения задачи Коши формулируются так:

динатную плоскость и соединив их отрезками, получим ломанную Эйлера

– приближенное изображение истинного решения (Рис. 7). Таким образом искомое решение у=у(х) заменяется приближенно ломаной линией. Получим погрешность такого подхода чисто геометрически.

(x1 , y1 )

(x0 , y0 )

гральной кривой. Тогда мы можем провести касательную к этой кривой в

точке xk , yk с тангенсами угла наклона y' f (xk , yk ) . Это построение показано на рис. 2.5, где кривая представляет собой точное, но, конечно

неизвестное решение уравнения, а прямая L1 - касательная в точке xk , yk . Тогда следующей точкой решения можно считать ту, где прямая

17

Полученное соотношение (8) есть расчетная формула метода Эйлера. Погрешность при х xк1 показана в виде отрезка r на рис. 8

L1

yk 1

yk

xk h xk 1

Рис. 8. Геометрическое представление метода Эйлера.

Формула (8) описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного решения дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую погрешность, кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым – малая ошибка (возникающая в результате округления или заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом х.

Применяется метод Эйлера в основном тогда, когда не требуется очень большой точности и нужно иметь представление о поведении ре-

18

шения рассматриваемой задачи Коши.

Исправленный метод Эйлера

Увеличение точности метода Эйлера сводится геометрически к уменьшению длины отрезка r. (Рис. 8). Для выяснения пути достижения этого, выполним следующее геометрическое построение (Рис. 9).

Рис. 9. Геометрическое представление исправленного метода Эйлера

Как видно из рис. 9, нам нужно найти точку пересечения прямой L с отрезком ВС. Эта задача решается следующим образом. С помощью

метода Эйлера находим точку С (xk 1 , yk hyk' ) , лежащей на прямой L1 .

В этой точке снова вычислим тангенс угла наклона прямой L2 . Усред-

нив тангенсы наклона L1 и L2 , получаем тангенс угла наклона L . И,

19