Дискретная математика и теория алгоритмов. Учебное пособие

Утверждение, обратное к предложению 67, вообще говоря, неверно.

Предложение 68. Множество = { | ( ) ↓} является вычислимо перечислимым, но не является вычислимым.

Доказательство. Докажем, что вычислимо перечислимо. По теореме об универсальной ч.р.ф. ( ) является двухместной ч.в.ф. Тогда функция ( ) = ( ) — одноместная ч.в.ф. Ясно, что = dom( ). Отсюда по пункту (3) теоремы 66 заключаем, что вычислимо перечислимо.

Докажем, что не вычислимо. Допустим, напротив, характеристическая функция ( ) вычислима. Рассмотрим одноместую функцию

Рассмотрим значение аргумента = , получим следующую цепочку эквивалент-

ных условий:

( ) ↓ ( ) ↓ ( ) ↑ .

Противоречие. Следовательно, не вычислимо.

Определение. Множество = { | ( ) ↓} из предложения 68 называется

креативным.

Далее мы исследуем свойства замкнутости семейства в.п. множеств относительно теоретико-множественных операций. Напомним, что для вычислимых множеств справедливо следующее предложение.

Предложение 69. Пусть , — вычислимые множества. Тогда множества, ∩ и тоже вычислимы.

Доказательство. См. доказательство предложения 40.

Для семейства в.п. множеств замкнутость относительно объединения и пересечения остаётся справедливой. Однако, в отличие от вычислимых множеств, в.п. множества незамкнуты относительно дополнения.

Предложение 70. Пусть , — вычислимо перечислимые множества. Тогда множества и ∩ тоже вычислимо перечислимы.

Доказательство. Пусть , +1 такие вычислимые множества, что

( , ),

( , ).

Тогда для объединения получаем

где ( , ) = ( , ex(0, )) & ( , ex(1, )) — вычислимый предикат. Следовательно,

∩

Теорема 71 (теорема Поста). Множество вычислимо тогда и только то- гда, когда и вычислимо перечислимы.

Доказательство. (= ) Следует из замкнутости вычислимых множеств относитель-

но дополнения и предложения 67.

( =) Пусть , +1 такие вычислимые множества, что

( , ),

/ ( , ).

Следствие 72. Существует множество такое, что вычислимо перечислимо, но не является вычислимо перечислимым.

Доказательство. Рассмотрим креативное множество = { | ( ) ↓}. По предложению 68 множество — в.п. Если бы было в.п., то по теореме Поста

было бы вычислимым, что невозможно.

Теорема 73 (теорема о графике). Частичная функция ( 1, . . . , ) является частично вычислимой тогда и только тогда, когда её график

= { 1, . . . , , | 1, . . . , dom( ), ( 1, . . . , ) = }

является вычислимо перечислимым.

Доказательство. (= ) Пусть — ч.в.ф. По теореме об универсальной ч.р.ф.

( ) = out(run( , in ( ), [ ( , , ) = 0])),

где — код машины Тьюринга, вычисляющей . Тогда получаем

, ( ) ↓=

( ( , , ) = 0 & out(run( , in ( ), )) = ) ( , , ),

где = { , , | ( , , ) = 0 & out(run( , in ( ), )) = }. Поскольку отношение

является вычислимым, то в силу пункта (2) теоремы 66 заключаем, что — в.п. ( =) Пусть — в.п. В соответствии с пунктом (2) теоремы 66 существует вычис-

лимое отношение +2 такое, что справедлива эквивалентность ,( , , ). Отсюда заключаем:

dom( ) , ( , , )

( , ex(0, ), ex(1, )) [ ( , ex(0, ), ex(1, ))] определено.

( ) является ч.в.ф. Поэтому ( ) = ex 0, [ ( , ex(0, ), ex(1, ))]

Упражнения

1.Доказать, что множество { | 0 range( )} вычислимо перечислимо.

2.Доказать, что множество { | и +1 определены в нуле} является вычислимо перечислимым.

3.Доказать, что множество { | dom( ) ̸= ?} является вычислимо перечислимым, но не является вычислимым.

4.Пусть — вычислимо перечислимое подмножество 2, — вычислимо пере-

числимое подмножество . Обозначим = { | , }. Доказать, что

множество

вычислимо перечислимо.

5. Доказать, что множество вычислимо перечислимо тогда и только тогда, когда его частичная характеристическая функция

является частично вычислимой.

6.Доказать, что множество вычислимо перечислимо тогда и только тогда, когда существует ч.в.ф. ( ) такая, что = range( ).

7.Доказать, что бесконечное множество является вычислимо перечислимым тогда и только тогда, когда = range( ) для некоторой вычислимой инъективной функции ( ).

8.Доказать, что любое бесконечное в.п. множество содержит бесконечное вычислимое подмножество.

9.Пусть — вычислимое подмножество , а ( ) — вычислимая функция, такие что range( ) = и ( ) ∩ ( ) = ?. Доказать, что множество ( ) вычислимо.

10.Пусть , такие, что множество ( ) ( ) конечно. Доказать, что вычислимо перечислимо тогда и только тогда, когда вычислимо перечислимо.

11.Вычислимо перечислимое множество называется простым, если его дополнение бесконечно и не содержит бесконечных вычислимо перечислимых подмножеств. Доказать, что если , — простые, то ∩ — простое.

12.Пусть 1, . . . , — -местные ч.в.ф., а 1, . . . , — попарно непересекающиеся в.п. подмножества . Доказать, что следующая функция частично вычислима:

13.Какова мощность семейства всех вычислимо перечислимым, но не вычислимых подмножеств ?

Учебное издание

Когабаев Нурлан Талгатович ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Учебное пособие

Редактор Д. И. Ковалева

Подписано в печать 01.03.2023 г.

Формат 60×84 1/8. Уч.-изд. л. 15,75. Усл. печ. л. 14,6. Тираж 100 экз. Заказ № 20

Издательско-полиграфический центр НГУ 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.