Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособие

УДК 51(075.8) Ю 152

Рецензенты:

канд. пед. наук Е.В. Траулько канд. пед. наук О.Е. Рощенко

Работа подготовлена на кафедре общих и естественно-научных дисциплин ИСТР и утверждена Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

Югова Н.В.

Ю 152 Высшая математика. Дифференциальные уравнения: учебнометодическое пособие / Н.В. Югова. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 28 с.

ISBN 978-5-7782-4111-4

Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов. Оно содержит основные определения, формулы и задачи для самостоятельного решения по разделам курса высшей математики «Дифференциальные уравнения». Приведены примеры решений типовых задач и варианты заданий для рас- четно-курсовой работы.

УДК 51(075.8)

Югова Наталья Владимировна ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебно-методическое пособие

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова Корректор Л.Н. Киншт

Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Л.А. Веселовская

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

___________________________________________________________________________________

Подписано в печать 14.02.2020. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз. Уч.-изд. л. 1,62. Печ. л. 1,75. Изд. № 248/19. Заказ № 401. Цена договорная

___________________________________________________________________________________

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

2

1.2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СРАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

X (x)Y (y)dx + X1(x)Y1(y)dy = 0,

где X (x), X1(x) – функции только от x; Y(y),Y1(y) – функции только

от y.

В результате деления исходного уравнения на произведение

Y(y)X1(x) оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

X (x) dx Y1(y)dy 0. X1(x) Y (y)

Интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

X (x) dx Y1(y)dy С, X1(x) Y (y)

которое определяет решение исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение 5x2dx ydy 0.

Решение. 5 x2dx ydy 0,

5x3 y2 C – общий интеграл.

3 2

Пример 2. Решить уравнение x(y 1)dx (x2 1)ydy 0. Решение. Разделяя переменные, приведем его к виду

4

Интегрируя, получим

12ln | x2 1| y ln | y 1| С.

Заменим С на ln С :

12ln | x2 1| ln | y 1| ln С y;

Пример 3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(x2 1)dy 2xydx 0.

Найти частное решение, удовлетворяющее условию: y = 1 при x = 0.

Решение. Разделив обе части уравнения на произведение y(x2 1),

получим уравнение с разделенными переменными: dyy x22xdx1 0.

Интегрируя, получим

ln| y | ln(x2 1) ln|C |,

или

ln x|2y |1 ln|C |,

5

откуданайдемобщеерешение: y C(x2 1). Чтобынайтиискомоечаст-

ное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям y 1 при x = 0:

Следовательно, частное решение имеет вид y x2 1.

1.3. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Сначала введем понятие однородной функции. Функция двух переменных ƒ(x, y) называется однородной функцией измерения m, если при

любом k выполняется равенство f (kx,ky) km f (x,y) . Дифференциальное уравнение первого порядка

M (x,y)dx N(x,y)dy 0

называется однородным, если M (x,y) иN (x, y) – однородные функции одного и того же измерения. Однородные уравнения можно привести к

замену y = tx, после чего получим уравнение с разделяющимися пере-

менными.

Пример 1. Решить уравнение

xdy (x y)dx .

Решение. Это уравнение однородное. Полагаем y = tx. Тогда dy xdt tdx . Подставляя в исходное уравнение, получаем

x(xdt tdx) (x tx)dx , откуда xdt dx.

Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными

6

Возвращаясь к старому переменному y, получаем y x(ln| x | С).

Крометого, имеетсярешение x 0,котороебыло потеряно приделении на x.

Пример 2. Найти общий интеграл однородного уравнения

(x2 y2)dy 2yxdx 0.

Решение. В данном случае имеем

M (x,y) x2 y2, N (x, y) 2yx.

Эти функции являются однородными функциями второй степени. Полагая y = tx, находим dy xdt tdx .

Подставляя выражения для y и dy в исходное уравнение и сокращая на x2 0, получаем уравнение с разделяющимися переменными

ченное уравнение, находим ln| x | ln|t | ln|1 t2 | ln|С|, откуда

x 1Ctt2 .

Представив сюда выражение для t, получим общий интеграл x2 y2 Cy.

7

1.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

называется линейным уравнением первого порядка. Если функция q(x) 0, то уравнение (1) принимает вид y p(x)y 0 и называется ли-

нейным однородным.

Признак линейного уравнения: искомая функция и ее производная входят в уравнение первой степени и между собой не перемножаются.

Метод решения. Используется подстановка Бернулли: y u(x)v(x),

В качестве v выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению

dvdx p(x)v 0.

Тогдафункцияu определяетсяизуравнения v dudx q(x). Итак,получаем систему двух дифференциальных уравнений с разделяющимися пере-

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами искомую функцию и независимое переменное. Например, уравне-

ние y (2x y3)y , в котором y является функцией от x, – нелинейное.

8

Запишем его в дифференциалах: ydx (2x y3)dy 0. Так как в это

уравнение x и dx входят линейно, то уравнение будет линейным, если x считать искомой функцией, а y – независимым переменным. Это урав-

нение может быть записано в виде dydx 2y x y2 и решается аналогично.

Пример. Найти общее решение линейного уравнения xy y x3 .

1.5. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Уравнением Бернулли называется уравнение вида y' p(x)y q(x)yn ,

где n – произвольное число, не равное 0 и 1.

Признак уравнения Бернулли: левая часть уравнения такая же, как у линейного уравнения, а правая отличается на сомножитель: искомую функцию в степени n.

Метод решения. Используется подстановка Бернулли: y u(x)v(x),

9

Функции u(x) и v(x) находятся из системы уравнений с разделяющимися переменными

Отсюда следует, чтоu (x) u2(xx)ln2 x .

10