Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

681 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

lnx

отсюда

Вновь разделяя переменные, получаем

2 ,

lnx

dx .Таккак du 1

, lnxdx

1 lnx

C, то

1 ln x

следовательно, u(x)

1 lnx Cx

Значит, общее решение уравнения примет вид

y u(x)v(x)

1 lnx Cx

1.6. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

p(x,y) dx q(x, y)dy 0

называется уравнением в полных дифференци-

алах, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции двух переменных:

dU p(x,y)dx q(x,y)dy .

Равенство означает, что dUdx p(x, y) и dUdy q(x,y) .

Уравнениевполныхдифференциалахможнопереписатьследующим образом: dU (x, y) 0. Этому уравнению удовлетворяют те и только те

функции y (x), которые удовлетворяют одному из соотношений U (x,y) C, где C – произвольная постоянная.

Итак, если существует такая функция U(x, y), что dUdx p(x, y) , dUdy q(x,y) , то общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид U (x,y) C .

Необходимое и достаточное условие того, что уравнение является

уравнением в полных дифференциалах, выражается равенством dpdy dqdx .

Если левая часть уравнения не является полным дифференциалом, но становится таковым при умножении на некоторую функцию

(x,y)

(p(x,y)dx q(x,y)dy) dU , то (x,y) называется ин-

тегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель зависит только от x, т. е. (x), если

ƒ(x) , и зависит только от y, если

dp dq

(y).

p dy

Пример 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(2x 3y)dx (2y 3x)dy 0.

Решение. Для данного уравнения

p(x, y) 2x 3y ,

q(x, y) 2y 3x ,

dp 3,

dq 3.

Выполнено необходимое и достаточное условие уравнения в полных

дифференциалах,

2x 3y , dU 2y

3x , т. е.

dq .

Интегрируя первое из этих уравнений (y при этом считается постоянным), находим

U (x,y) x2 3xy (y),

где (y) – функция, подлежащая определению.

Дифференцируя по y функцию U = U(x, y) и принимая во внимание

второе из равенств		dU	2y		3x , получаем	3x (x) 2y 3x , от-
		dy
куда (y) 2y ,	d	2y ,		d 2ydy , (y) y2		C .
куда (y) 2y ,		2y ,		d 2ydy , (y) y2		C .
	dy					1
	dy

Подставим выражение (y) в равенство U (x,y) x2 3xy (y) ,

найдем U (x,y) x2 3xy y2 C .
			1
В соответствии с формулой U (x, y) C получаем
	x2 3xy y2 C	C	2	или x2 3xy y2 C ,
	1		2
где C C C . Итак, x2 3xy y2				C – общий интеграл данного урав-
1	2

нения.

Пример 2. Решить уравнение

yx2 dx y y3x2 dy 0.

Решение. Справедливы соотношения

dp		2x	,	dq		2x .
dy		y3		dx		y3

Таким образом, это уравнение в полных дифференциалах. Так как

, то U

dx (y)

(y) .

2y2

Найдем

и приравняем q(x, y)

y x2

(y)

y x2

откуда (y)

и (y)

C .

Такимобразом, U (x, y)

, иобщийинтегралуравнения

2y2

запишется в виде U (x, y) C, т. е.

C .

2y2

1.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Способ решения заданного дифференциального уравнения первого порядка зависит от типа, к которому он относится. Вначале нужно привестиегоквиду y ƒ(x,y).Затемопределить,неразлагаетсялифунк-

ция ƒ(x, y) на множители, один из которых зависит только от x, а вто-

рой – только от y. Если это возможно, то надо разделить переменные и интегрировать обе части получившегося равенства.

Если функция ƒ(x, y) имеет вид p(x)y q(x) или p(x)y q(x)yn ,

то это уравнение является линейным, или уравнением Бернулли. Далее решить соответствующее однородное линейное уравнение v p(x)v

споследующей подстановкой y u(x)v(x) .

Клинейным уравнениям сводятся также уравнения вида

y	1	и более общего вида y	1

	p(y)x q(y)		p(y)x q(y)xn

Для их решения надо поменять ролями переменные x и y и считать x функцией от y. В результате для этой функции получаем линейное уравнение x p(y)x q(y). Если метод не приводит к цели, то необ-

ходимо проверить, не является ли функция ƒ(x, y)однородной нулевой степени. Для этого надо образовать функцию ƒ( x, y) и проверить, равна ли она при 0 функции ƒ(x, y) .

В случае выполнения тождества ƒ( x, y) ƒ(x,y) уравнение решается подстановкой y ux . Наконец, если и этот метод не подходит, то надозаписатьзаданноеуравнениеввиде p(x,y)dx q(x,y)dy 0 ипроверить, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах, т. е.

выполняется ли условие dpdy dqdx .

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение. Уравнение вида F (x;y; y ; y ) 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка. Общим решением такого уравнения является функция y (x,С1, С2). Общее решение,

заданное в неявном виде Ф(x , y, С1,С2) 0, называется общим инте-

гралом.

Частным решением уравнения F (x; y; y ;y ) 0, называется реше-

ние y x,С0	, С0	, получившееся из общего путем фиксирования
1	2

значений произвольных постоянных: С1 С10 , С2 С02 .

Задача Коши. Найти решение y = y(x) дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее условиям:

y y0 ,

x x0 .

2.2. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Типы дифференциальных уравнений второго порядка: y ƒ(x) ;

y ƒ(y) ; y ƒ(y ) ; y ƒ(x, y ) ; y ƒ(y, y );

Решаем

уравнение

y ƒ(x)

двукратным

интегрированием.

Уравнение

y ƒ(у)

интегрируется подстановкой

p , результатом

которого будет уравнение

dp p f (y).

Уравнение y ƒ(y )

интегрируется подстановкой

y p .

В итоге

получаем уравнение

dx.

ƒ(p)

Уравнение y ƒ(x, y )

подстановкой y

сводится к уравнению

dp ƒ(x, p) .

Уравнение y ƒ(y, y )

подстановкой y p

сводится к уравнению

p dp ƒ(y, p).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

y xex , удовлетво-

ряющее начальным условиям: y(0) 1,

y (0) 0 .

Решение. Уравнение

y xex

относится

к дифференциальному

уравнению второго порядка вида y ƒ(x) .

Решаем уравнение y xex двукратным интегрированием:

xex dx xex ex С ,

xex ex С dx .

Получаем общее решение исходного уравнения

y xex 2ex С x С

Найдем

частное

решение, удовлетворяющее

условиям

y(0) 1,

y (0) 0 .

С2 1,

С1 0,

2 C2 1,

y(0) 2

y (0) 1

1 С 0.

Следовательно, С1 1, С2 3. Таким образом, частное решение уравнения имеет вид y xex 2ex x 3.

Пример 2. Решить уравнение 2y 3y2 .

Решение. Это уравнение относится к интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка вида y ƒ(y) .

Делаем замену у р , которая дает возможность свести исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Получаем

				dpdy
	y dydx	dydy	dydx dydy y	dpdy	p ,
2p p 3y2 ,	2pdp 3y2dy ,		2pdp 3y2dy ,			p2 y3 С1 ,
p y3 С ,		dy	y3 С ,		y ƒ(y ).
	1	dx	1
		dx
Общее решение уравнения имеет вид
	x С 2 y3 С .
		2	1

Пример 3. Найти общее решение уравнения (x 3)y y 0 .

Решение. Уравнение относится к интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка вида y ƒ(y ) .

Делаем замену y p , в результате получаем dpdx ƒ(p).

Исходное уравнение примет вид (x 3) dpdx p 0. Данное уравне-

ние приводим к уравнению с разделяющимися переменными: dpp xdx3 .

Интегрируем последнее уравнение 1p dp x 13dx , получаем

ln | p |= ln | x 3| ln |С |,

С1

dx С

x 3

Общее решение уравнения определяется формулой

y С1 ln | x 3| С2.

2yy

Пример 4. Найти общее решение уравнения (y )

Решение. Это уравнение относится дифференциальному уравнению вида y ƒ(y, y ), которое приводится к понижению порядка уравнения

путем замены y p

, y dpdy p .

Получаем

2yp

p 2y

p 2y dp

Приравниваем множители к нулю: p 0 или

Если p 0 ,

y 0, так как

y p , то

y С.

Уравнение

p 2y dp

0 сводится к уравнению с разделяющимися

переменными

dy .

Интегрируя, находим ln | p |= 1 ln | y | ln |С |, откуда

С1

y dy С1dx .

Интегрируя это уравнение, получаем 2 y

С x С

Общие решения уравнения: y С ,

2 y 23

С x С

2.3. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Определение. Уравнение вида ay by cy 0 называется одно-

родным дифференциальным уравнением второго порядка с постоян-

ным коэффициентом, где а, b, c – постоянные коэффициенты.

Приведем уравнение к виду

qy 0 , где

p = a ,

a .

Уравнение k2 pk q 0 называется характеристическим уравне-

нием.

В зависимости от корней k1

характеристического уравнения

получаем общее решение уравнения

в виде

y C ek1x C ek2x , если

k1 и k2 – действительные числа.

Общее решение уравнения имеет вид y (C x C )ek1x ,

Если k1 i , k2 i – комплексные числа, то общее реше-

ние уравнения y e x (C cos x C

sin x).

Пример1.Найтичастноерешениеуравнения y 2y 15y 0,удо-

влетворяющее начальным условиям: y(0) 1,

y (0) 0 .

Решение. Составим характеристическое уравнение k 2 2k 15 0.

Корни уравнения действительны:

k1 5,

k2 3. Следовательно,

общее решение уравнения имеет вид

y C e5x C e 3x .

Для нахождения частного решения уравнения подставим

y(0) 1,

y (0) 0 в выражения y и y :

y 5C1e5x 3C2e 3x .

	1 С	С	2	,			С	3 ,	С		5 .
Получаем	1		2				С	3 ,	С		5 .
	0 5С 3С				2	,	1	8		2	8
	1				2
Искомое частное решение уравнения y 3e5x												5e 3x .
											8	8
Пример 2. Найти общее решение уравнения y 6y 9y 0.
Решение. Характеристическое уравнение k2 6k 9 0 имеет рав-
ные действительные корни: k1 k2									3.
Получаем общее решение уравнения y (C x C													2	)e3x .
											1		2
Пример 3. Проинтегрировать уравнение y 4y 13y 0.
Решение. Характеристическое уравнение k2 4k 13 0 имеет ком-
плексные корни k1 2 3i ,							k2	2 3i .

Следовательно, общее решение уравнения определится формулой

ye2x (C1 cos3x C2 sin3x).

2.4.НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Определение. Уравнение вида y py qy ƒ(x) называется неод-

нородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом.

p, q – постоянные коэффициенты, ƒ(x) – функция от x.

Общее решение находится по формуле y y0 y1 , где y0 – общее решение однородного уравнения, y1 частное решение уравнения.

Частное решение уравнения зависит от характеристики ƒ(x). Если ƒ(x) Pn (x)e x , тогда y1 xk Qn (x)e x .

Если ƒ(x) a cos x bsinβx , тогда y1 xk (a cos x bsin x).

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]