Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

681 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Пример. Проинтегрировать уравнение y 6y 8y 14e2x .

Решение. Характеристическое уравнение однородного уравнения y 6y 8y 0 имеетразличныедействительныекорни: k1 2, k2 4.

Следовательно, общее решение уравнения определится формулой y C1e2x C2e4x .

Исходное уравнение является уравнением вида y py qy ƒ(x),

где функция ƒ(x) определяется формулой ƒ(x) Ae x . Причем А 14,

k 2. Однако k 2 является корнем характеристического уравнения. Частное решение этого неоднородного уравнения следует искать в

виде y1 Axe2x :

y1 Ae2x 2Axe2x ,			y1 4Ae2x 4Axe2x .
Подставляя в исходное уравнение выражение для y1, y1 ,				y1 получим
4Ae2x 4Axe2x	– 6(Ae2x 2Axe2x ) 8Axe2x = 14e2x ,
откуда 2Ae2x 14e2x , А 7. Таким образом, y 7xe2x .
			1
Общее решение находится по формуле
y y y		C e2x C e4x –7хe2x .
0	1	1	2

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Определение. Дифференциальным уравнением n-го порядка назы-

вается уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные до порядка n включительно:

F(x;y;y ;...y(n)) 0.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысших производных, входящих в это уравнение. Например,

y	y7	– уравнение первого порядка, y y x – уравнение третьего
	3

порядка.

3.2.ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом n-го порядка называется уравнение вида

y(n) a1y(n 1) a2y(n 2)... a(n 1)y an y 0.

Составляем характеристическое уравнение

kn a1k(n 1) a2k(n 2) ... a(n 1)k an 0.

Общее решение уравнения зависит от характера корней уравнения:

1) каждому действительному корню k соответствует ekx .

Общее решение уравнения y =C1ek1x C2ek2x ... Cnekn x ;

2) если действительный корень k кратен m, то общее решение уравнения имеет вид

y(C1 C2x ... Cm xm 1)ekx ;

3)каждой паре комплексных сопряженных простых корней k(1)

i, k(2) i в общем решении соответствует слагаемое вида e x (C1cos x sin x);

4) каждой паре комплексных сопряженных корней k(1) i,

k(2) i кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида

e x C1 C2x ... Cm 1xm 1 cos x C1 C2x ... Cm 1xm 1 sin x .

Пример 1. Проинтегрировать уравнение y 2y y 0 .

Решение.	Характеристическое уравнение				k3 2k2 k 0 имеет
корни k1 0,	k2 k3 1.
Общее уравнение имеет вид y C C			ex C xex .
	1	2			3
Пример 2. Проинтегрировать уравнение y 3y y 3 0 .
Решение. Характеристическое уравнение k3 3k2 k 3 0,
	k2(k 3) (k 3) 0,	(k 3)(k2			1) 0.
Корни уравнения: k1 1, k2 1, k3 3.
Общее уравнение имеет вид y C e x C				ex C e3x .
	1		2		3

Пример 3. Найти общее решение уравнения

y(V) y(IV) 16y 16y 0.

Решение. Характеристическое уравнение

k5 k4 16k 16 0, (k 1)(k 2 4)(k2 4) 0.

Корни уравнения:

k1 1, k2 2, k3 2, k4 2i, k5 2i .

Общее уравнение имеет вид

y C1ex C2e2x C3e 2x C4 cos2x C5 sin2x .

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Решить уравнения. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные условия).

1.	(x 5)dy –(y 3)dx 0.		2.	y	9	.
1.	(x 5)dy –(y 3)dx 0.		2.	y	x2 9	.
					x2 9
3.	xydx (x 2)dy 0.		4.	(x –2)dy (y 4)dx 0.
5.	y y2sinx .			6. (y x2y)dy (xy2 x)dx 0.
7.	2xy2 (x2 1)y 0,	y(0) 1.	8.	(x2 2xy)dy (y2 2xy)dx 0.

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Решить уравнения.

1. (x y)dy (x – y)dx 0 . 2. xydy (x2 y2)dx 0.

3.	xdy (x 2y)dx 0.		4.	x2y y2		xyy .
	y	2xy			2 y		xy .
5.		x2 y2 .	6.
				xy
7.	xyy 2x2 y2 .		8.	(x2 2xy)dy (y2 2xy)dx 0.

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Решить уравнения.
1. y 3y e4x .	2. (2x 1)y 8x 4y .
3. y x y x .	4. y 2xy xe x2 .
	25

5.	y x x2 cosx y .	6. y	x		y 1.
5.	y x x2 cosx y .	6. y	x2 1		y 1.
			x2 1
7.	y y 5x .	8. y y x 3.
	4. Уравнения в полных дифференциалах
Решить уравнения
1.	(x2 y2)dy 2xydx 0.		2.	(4y –2x) dx (2y 4x)dy 0.
3.	(x sin y)dx (x cos y sin y)dy 0 .				4.	x2ydx		x3	dy 0.
3.	(x sin y)dx (x cos y sin y)dy 0 .				4.	x2ydx			dy 0.
						3
5. (2x 3x2y2)dx (2y3 2x2 y)dy 0.					6.	y	dx (y2 ln x)dy 0 .
5. (2x 3x2y2)dx (2y3 2x2 y)dy 0.					6.		dx (y2 ln x)dy 0 .
	(x2 2xy)dx ( x2 y2)dy 0.					x
7.	(x2 2xy)dx ( x2 y2)dy 0.				8.	yexdx (y ex )dy 0.
	5. Уравнения, допускающие понижения порядка
Решить уравнения.
1.	y xe2x , y(0) 1, y (0) 0.			2. y 4y 0.
3.	y y 2x, y(0) 0, y (0) 1.			4. y sinx.
5. (x 2)y y 0.				6. y 2y 2ex.
7.	xy y 0.		8. 4y 6y2.

6.Однородные дифференциальные уравнения n-го порядка

спостоянным коэффициентом

Решить уравнения

1. y(IV) 5y 4y 0.	2.	y(V) 6y(IV) 9y 0.
3. y 8y 0.	4.	y 2y 8y 0.
5. y(V) 10y 9y 0.	6.	y 9y 0.
7. y y 9y 9y 0.	8. y(IV) 5y 4y 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Демидович Б.П. Дифференциальные уравнения / Б.П. Демидович,

В.П. Моденов. – СПб.: Лань, 2006. – 288 c.

2.Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Мака-

ренко. – М.: Либроком, 2013. – 256 c.

3.Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: учебник и практикум для среднего профессионального образования / Т.В. Муратова. – М.: Юрайт, 2018. – 435 с. – (Профессиональное образование).

4.Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А.Ф. Филиппов. – М.: Наука, 2008.

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.....................................	3
1.1. Основные понятия .........................................................................................	3
1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными...........	4
1.3. Однородные дифференциальные уравнения...............................................	6
1.4. Линейные дифференциальные уравнения...................................................	8
1.5. Уравнения Бернулли......................................................................................	9
1.6. Уравнения в полных дифференциалах.......................................................	11
1.7. Определение типа дифференциального уравнения..................................	14
§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка...................................	15
2.1. Основные понятия .......................................................................................	15
2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.........................................	15
2.3. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами ...............................................................	19
2.4. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами ...............................................................	20
§ 3. Дифференциальные уравнения высшего порядка.................................	22
3.1. Основные понятия .......................................................................................	22
3.2. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами..........................................................................................	22
Контрольные работы..........................................................................................	25
Библиографический список..................................................................................	27

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]