Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аппроксимация функций обобщенным рядом Фурье. Методические указания к лабораторному практикуму и самостоятельной работе студентов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

862 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Кафедра математических методов и моделей в экономике

А. Г. Реннер, Д.В. Корнейченко

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННЫМ РЯДОМ ФУРЬЕ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве методических указаний для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлениям подготовки 231300.62 Прикладная математика, 080500.62 Бизнес-информатика, 080100.62 Экономика, специальности 080116.65 Математические методы в экономике

Оренбург

2014

УДК 517.518.45 (076.5) ББК 22.161.5я7

Р39

Рецензент – кандидат физико-математических наук, доцент Г.А. Ивашкина

Реннер, А.Г.

Р39 Аппроксимация функций обобщенным рядом Фурье: методические указания к лабораторному практикуму и самостоятельной работе студентов / А.Г. Реннер, Д.В. Корнейченко.– Оренбург: ОГУ, 2014.– 27 с.

Методические указания содержат описание работы по аппроксимации функций обобщенным рядом Фурье, а также варианты индивидуальных заданий для проведения лабораторной работы. Предназначены для студентов специальности 080116.65 Математические методы в экономике, направлений 231300.62 Прикладная математика, 080500.62 Бизнес-информатика, 080100.62 Экономика

УДК 517.518.45 (076.5) ББК 22.161.5я7

Реннер А.Г.,2014Корнейченко Д.В.,2014

ОГУ, 2014

Содержание
Введение...........................................................................................................................	4
1 Теоретические аспекты аппроксимации функций обобщенными рядами Фурье.....	5
1.1 Общая постановка задачи аппроксимации функций обобщенными рядами
Фурье ................................................................................................................................	5

1.2Аппроксимация функций обобщенными рядами Фурье по системе


ортогональных полиномов..............................................................................................			6
1.2.1 Ортогональные полиномы Лежандра.....................................................................			6
1.2.2 Ортогональные полиномы Эрмита.........................................................................			7
1.2.3 Ортогональные полиномы Чебышева....................................................................			9
1.2.4 Ортогональные полиномы Лагерра......................................................................			11
1.3		Аппроксимация функций, измеренных в конечном числе точек..........................	12
2	Содержание лабораторной работы.............................................................................		12
3	Постановка задачи.......................................................................................................		13
4	Порядок выполнения работы......................................................................................		13
4.1		Предварительная обработка эмпирических данных ..............................................	13
4.2		Аппроксимация плотности распределения вероятностей обобщенным рядом
Фурье ..............................................................................................................................			17
4.3		Анализ результатов..................................................................................................	23
5	Содержание письменного отчета...............................................................................		24
6	Вопросы к защите лабораторной работы...................................................................		24
Список использованных источников............................................................................			25
Приложение А................................................................................................................			26

Введение

В стохастическом моделировании мы зачастую сталкиваемся с невозможностью отнесения эмпирического распределения к одному из параметрических классов. Достаточно типична такая ситуация, например, в

страховой математике при определении закона распределения величины иска.

Одним из возможных подходов к решению данной задачи является аппроксимация теоретического распределения обобщенным рядом Фурье.

Цель работы заключается в выработке практических навыков аппроксимации функций обобщенными рядами Фурье в пакете «АЗР» и последующем анализе полученных результатов.

1 Теоретические аспекты аппроксимации функций обобщенными рядами Фурье

1.1 Общая постановка задачи аппроксимации функций обобщенными рядами Фурье

Пусть функция					f x определена			на интервале a,b . Ставится задача
нахождения аналитического выражения для функции									f x .
Как		известно			[1], [7],		любая	функция	f (x) L2[a,b] может быть
представлена в виде:
					x ,
f x i i					x ,				(1.1)
		i 0				Фурье, i x –
где i – коэффициенты						Фурье, i x –			семейство базисных функций,
ортонормированных на a,b с весом x :
b		x		x x dx		1, m n		,
	m	x	n	x x dx		1, m n		,
	m		n
a		b				0, m n			(1.2)
i		b							(1.2)
i	f (x) i (x) (x)dx,						i 1,	2,..
		a

На практике приходится ограничиваться n-ной частичной суммой ряда (1.1):

n	x ,
f x Sn(x) i i	x ,	(1.3)

i 0

что приводит к появлению погрешности. Оценки параметров модели (1.3) будем искать, минимизируя среднеквадратическую погрешность аппроксимации:

b	n				2
	f x	i	i	x	x dx min	.	(1.4)
	i 0	i	i			.	(1.4)
a	i 0

Решение данной оптимизационной задачи имеет вид:

i	f x i x x dx,	i 0..n,	(1.5)
	a

где i являются коэффициентами Фурье. При таком способе определения коэффициентов разложения погрешность аппроксимации равна:

b		n 2
f	2	x x dx i ,	(1.6)
a		i 0

и, в силу равенства Парсеваля-Стеклова, стремится к нулю при n .

1.2 Аппроксимация функций обобщенными рядами Фурье по системе ортогональных полиномов

1.2.1 Ортогональные полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра являются ортогональными на отрезке 1,1 с весом

x 1 и имеют вид:

P x

2 n 1

2 1 n

n 0, 1, 2,...

(1.7)

2n n!

dxn

Выражение для Pn x представимо также в виде суммы:

P x

ndiv2

xn 2m

n 0,

2,...,

(1.8)

m 0

при этом коэффициенты am определяются выражением:

2n 2m !

am 1

2 n 1

,m 0..n div 2, (1.9)

m! n

m ! n

2m !

где «n div

2»

– целая часть от деления n

на

2. Из (1.9)

следует

рекуррентное соотношение для коэффициентов am:

2n !

2 n 1

2n n! 2

am 1

n 2m n 2m 1

,m 0.. (n div

2) 1.

(1.10)

2 m 1 2n 2m 1

Так как система полиномов Лежандра образует базис на промежутке 1,1 ,

то любая функция

f (x) L2[a,b]

может

быть аппроксимирована

отрезком

обобщенного ряда Фурье по этим полиномам. Если функция определена на

промежутке			a,b , отличном от 1,1 , то с помощью линейного преобразования
t x d /c			или x ct d , где x a,b , а t 1,1 , область определения функции
a,b отображается на отрезок 1;1 .
Для системы полиномов (1.8) коэффициенты c,						d определяются следующим
образом:
c	b a			,
						(1.11)
			2
d		b a			.

			2

С учетом (1.11) формула нахождения коэффициентов разложения примет

вид:

1b
i ca f x Pi x d /c dx, i 0..n.	(1.12)

Стоит отметить, что при численном нахождении значения интеграла (1.12) рекомендуется предварительно преобразовать аппроксимируемую функцию так, чтобы ее значение на одном из концов интервала (или сразу на обоих) стало равно нулю. В таком случае удастся точнее посчитать коэффициенты и избежать на концах аппроксимируемой функции эффекта Гиббса.1

1.2.2 Ортогональные полиномы Эрмита

Полиномы Эрмита ортогональны на интервале ; с весом

x e x2 и имеют следующий вид:

Hn x 1 nex2 dnn e x2 , n 0,1,2,....

Как и в случае полиномов Лежандра, полиномы Эрмита представить в виде степенного ряда:

Hn x	ndiv2
		am xn 2m ,n 0,1,2,...,
	m 0
где коэффициенты am определяются выражением:
			2n 2m
am 1 m		n!		,m 0..n div 2
			m! n 2m !
		2n

или в виде рекуррентного соотношения:

(1.13)

Нn x можно

(1.14)

(1.15)

a0		2n			,


		n!					(1.16)
am 1	am			n 2m n 2m 1		,m 0.. (n div
							2) 1.
					4 m 1
Так как система полиномов Эрмита образует базис на интервале ; , то
любая функция			f (x) L2 ( ; ) может быть аппроксимирована отрезком

обобщенного ряда Фурье по этим полиномам. В случае, если аппроксимируемая функция f (x) L2[a,b], необходимо доопределить ее на интервалах ( ,a), (b, ) одним из возможных способов, например, положив

1 Эффектом Гиббса называется особенность поведения частичных сумм ряда Фурье в окрестности точки разрыва функции, впервые обнаруженная Уилбрейамом в 1848 г. и позже переоткрытая Гиббсом в 1898 г. Суть явления заключается в том, что в окрестностях точек разрыва аппроксимируемой функции значения частичных сумм ее ряда

Фурье Sn (x) будут иметь выбросы, превышающие величину изменений значений самой функции приблизительно на 18%.[1]

	f (x),	x [a,b];
f			x a;	(1.17)
	*(x) f (a)e(x a),
		(x b),	x b.
	f (b)e

В результате данного преобразования:

а) f *(x) L2 ( ; );

б) вследствие отсутствия точек разрыва нивелируется эффект Гиббса;

в) значения функции f *(x) на обоих концах асимптотически приближаются к нулю, что является наиболее предпочтительным при аппроксимации ортогональными полиномами Эрмита.

Замечание. Следует отметить, что система полиномов Эрмита обладает наилучшими характеристиками приближения в окрестности точки x 0. Поэтому, если аппроксимируемая функция f (x) L2[a,b], то перед преобразованием (1.17), аналогично тому, как это делалось в п. 1.2.1, с помощью линейного отображения добиваются, чтобы середина или один из концов области определения аппроксимируемой функции совпал с нулем. Для системы полиномов (1.14) коэффициенты линейного преобразования рассчитываются согласно таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Расчет коэффициентов линейного преобразования при аппроксимации функции обобщенным рядом Фурье по системе ортогональных полиномов Эрмита в окрестности точки x 0

Операция		Описание			Формулы для
Операция		Описание			расчета
					расчета
«Серединная»	Середина интервала определения функции				c 1,
аппроксимация	переносится в нуль				d b a 2,
	В нуль переносится правая граница
«Левая»	интервала,	а	затем	функция	c 1,
аппроксимация	“достраивается”			отображением	d b,
	относительно оси 0y на положительную
	полуось.
«Правая»	В нуль	переносится левая граница			c 1,
«Правая»	интервала, а “достраивается” функция на				c 1,
аппроксимация	интервала, а “достраивается” функция на				d a.
	отрицательную полуось

С учетом приведенных в таблице формул, от (1.5) можно перейти к следующим формулам нахождения коэффициентов разложения для “серединной”, “левой” и “правой” аппроксимации:


i		f x Hi x d /c e x d /c 2 dx,	(1.18)


i		f x b x f 2 b x x b *
										,				(1.19)
* Hi x d /c e x d / c 2 dx										,				(1.19)
* Hi x d /c e x d / c 2 dx

i		f 2 a x a x f x x a *
										.				(1.20)
* Hi x d /c e x d /c 2 dx										.				(1.20)
* Hi x d /c e x d /c 2 dx
1.2.3 Ортогональные полиномы Чебышева
Полиномы			Чебышева		ортогональны			на		интервале	1,1		с	весом
x	1	и определяются выражением:
1 x2		1
T0 x		1	,
														(1.21)
Tn x		2 cos n arccos x ,n 1,2,...												(1.21)
Tn x		2 cos n arccos x ,n 1,2,...

Вид первых 6 ортогональных полиномов Чебышева												приведён			на
рисунке 1.1.
				Полиномы Чебышева 0,1-5 порядков
			1
			0,8
			0,6										0
			0,4										0
			0,4										1
			0,2										1
			0,2										2
			0										2
			0										3
			-0,21			-0,3	-0,16 -0,02 0,12		0,4	0,54 0,68 0,82 0,96			3
			-0,21
			-	-0,86 -0,72 -0,58	-0,44			0,26					4
			-0,4										4
													5

			-0,6
			-0,6
			-0,8
			-1
				Рисунок 1.1 – Полиномы Чебышева 0-5 порядков

В явном виде многочлены Tn x представляются следующими степенными рядами:

T x

(1.22)

Tn x

ndiv 2

am xn 2m ,n 1,2,..

m 0

При этом коэффициенты am определяются по формулам

n n m 1!

, m 0..n div 2.

am 1 m

2n 2m 1

(1.23)

m! n 2m !

Или в рекуррентной форме:

n 1

n 2m 1 n 2m

(1.24)

am 1 am

,m 0.. (n div 2) 1.

4 m 1 n m 1

Так как система полиномов Чебышева образует базис на промежутке 1,1 ,

то любая функция

f (x) L2[a,b] может быть аппроксимирована

отрезком

обобщенного ряда Фурье по этим полиномам. Если функция определена на промежутке a,b , отличном от 1,1 , то с помощью линейного преобразования, аналогично п. 1.2.1, добиваются того, чтобы система ортогональных многочленов и аппроксимируемая функция были определены на одном множестве. В данном случае коэффициенты с,d рассчитываются по формулам:

c b a ,

2			(1.25)
d	b a	.

2
Таким образом, можно перейти к нахождению коэффициентов разложения
Фурье:

	1b
					2
i		f x Ti x d /c	1 x		d /c dx, i 0..n,.	(1.26)

	ca
Вследствие того, что в крайних точках интервала a,b невозможно
посчитать весовую функцию x 1
				1 x2	системы ортогональных полиномов

Чебышева, имеет смысл предварительно преобразовать аппроксимируемую функцию так, чтобы ее значение на одном из концов интервала (или сразу на обоих) стало равно нулю. В таком случае удастся точнее посчитать коэффициенты и избежать на концах аппроксимируемой функции эффекта Гиббса.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]