Аппроксимация функций обобщенным рядом Фурье. Методические указания к лабораторному практикуму и самостоятельной работе студентов

а) с помощью линейного преобразования перенести один из концов области определения функции в точку x 0;

б) аналогично тому, как это было сделано в п. 1.2.2, доопределить функцию на интервале (b, ).

Для системы полиномов (1.28) коэффициенты линейного преобразования определяются по формулам:

c 1,

при “обратной” аппроксимации (т.е. в нуль переносится правая граница интервала, а затем функция отображается относительно оси 0y).

С учетом (1.31) и (1.32) получим следующую формулу нахождения коэффициентов разложения Фурье:

1.3 Аппроксимация функций, измеренных в конечном числе точек

Рассмотренные в п. 1.2 формулы для вычисления коэффициентов разложения Фурье применимы лишь в случаях, когда аналитическое выражение функции f (x) известно. На практике, как правило, ставится задача аппроксимации функций, измеренных в конечном числе точек и не имеющих аналитического представления. Поэтому возникает необходимость предварительной обработки эмпирических данных с целью выявления закономерностей и особенностей моделируемого процесса.

2 Содержание лабораторной работы

Лабораторная работа включает в себя следующие этапы:

-постановку задачи;

-ознакомление с порядком выполнения работы;

-выполнение расчетов индивидуального задания на компьютере и анализ результатов;

-подготовку письменного отчета с выводами по работе;

-защиту лабораторной работы.

12

3 Постановка задачи

По данным Приложения А (таблица А.1) построить аппроксимацию плотности распределения вероятностей обобщенным рядом Фурье. Для этого:

1)исходя из вида и особенностей аппроксимируемой функции, подобрать подходящую систему ортогональных полиномов;

2)получить аналитическое представление плотности распределения вероятностей, построить ее график;

3)провести анализ полученных результатов, оформить выводы и заключение по работе.

4 Порядок выполнения работы

Порядок выполнения лабораторной работы рассмотрен на примере некоторой функции, измеренной в конечном числе точек. Процесс выполнения работы разбит на несколько этапов.

4.1 Предварительная обработка эмпирических данных

Перед началом работы исходные данные для анализа должны быть сохранены в файле с расширением *.txt. Каждый элемент выборки должен располагаться на новой строке. При этом первые две строки отводятся под служебную информацию: в первой строке указывается объем выборки, во второй – интервал. В остальных строках располагаются элементы выборки.

После того, как исходные данные подготовлены к взаимодействию с программой, запускаем «АЗР». Окно программы после запуска представлено на рисунке 4.1.

Окно программы состоит из нескольких блоков:

–переключаемые вкладки – активируют тот или иной программный модуль. По умолчанию после запуска программы активной является вкладка «Процесс»;

–область задания параметров – предназначена для выбора и изменения значений параметров. В зависимости от открытой вкладки набор параметров варьируется;

–область построения графиков – предназначена для отображения результатов и их визуального контроля. Область построения графиков присутствует не на всех вкладках.

13

Последовательность действий на данном этапе можно разбить на несколько шагов (на рисунке 4.4 выделены и подписаны элементы программы, с которыми осуществляется работа на каждом шаге).

1) Выбор аппроксимируемой характеристики – предоставляется возможность аппроксимации:

–самого исследуемого процесса;

–плотности распределения вероятностей;

–функции распределения.

В рамках рассматриваемого примера будем аппроксимировать плотность распределения вероятностей.

Рисунок 4.5 – Вкладка «Аппроксимация»

2) Выбор и задание параметров аппроксимации. В программе существует возможность выбора интервала аппроксимации. Для каждого интервала предлагается использование соответствующей системы ортогональных многочленов. В таблице 4.1 представлено соответствие интервала аппроксимации и системы ортогональных многочленов, предлагаемых программой для этого интервала.

18

Таблица 4.1 – Соответствие интервала аппроксимации и системы ортогональных многочленов, предлагаемых для этого интервала программой

Кроме того, с целью повышения качества аппроксимации в программе существует возможность выбор двусторонней аппроксимации для случаев, когда аппроксимируемая характеристика имеет ярко выраженный экстремум. В случае выбора двусторонней аппроксимации программа сама определит экстремум, оставив, за пользователем возможность его изменения или уточнения. Также для расчета коэффициентов ветвей можно применять прием предварительного сведения концов аппроксимируемой функции к нулю. В качестве альтернативы операции сведения концов к нулю при двусторонней аппроксимации можно использовать операцию совмещения максимумов. Идея данной операции состоит в том, что после вычисления коэффициентов полиномов их нормируют, то есть совмещают в точке выборочного среднего значения аппроксимирующих выражений для обеих ветвей со значением аппроксимируемой функции.

Последней опцией программы, предлагаемой на данном шаге, является возможность как самостоятельного задания количества аппроксимирующих полиномов, так и определения их оптимального количества автоматически, исходя из минимума квадратической ошибки.

В рамках рассматриваемого примера аппроксимацию плотности распределения вероятностей будем проводить на конечном отрезке, соответственно будем использовать систему полиномов Лежандра. Оптимальное количество аппроксимирующих полиномов выберем, исходя из минимума квадратической ошибки, нажав кнопку «Оптимум». Результаты работы программы на данном этапе представлены на рисунке 4.6.

19