Анализ и прогнозирование временного ряда электропотребления. Методические указания для выполнения домашнего расчетного задания по курсу «Математически

2.3. Анализ остатков

Согласно аддитивной модели временного ряда остатки (отклонения от тренда) t равны

εt = yt − yˆ t.

Точечная (числовая) оценка дисперсии остатков σε2 временного ряда равна

Среднеквадратическое отклонение остатков sе находится по таблице вывода итогов «Регрессионная статистика» в строке «Стандартная ошибка» (см. рис. 8).

с помощью функции «ХИ2ОБР» по числу степеней свободы df = n − 2, уровням значимости α1 = α2 и α2 = 1 − α2, где α задается исследователем.

В нашем случае = 0,05; α1 = 0,025; α2 = 0,975;

χ2 (α1,df) = χ2 (0,025, 34) = 51,97;

χ2 (α2,df) = χ2 (0,975, 34) = 19,81.

Интервальная оценка дисперсии остатков

или

27 861,71 < σ2ε < 73 101,24.

21

Остатки должны удовлетворять следующим условиям. 1. Средняя остатков должна равняться нулю, т.е.

ε = 1 n ε ≈ 0.

t n ∑t=1 t

В нашем примере это условие выполняется.

2. Дисперсия остатков должна быть постоянна, т.е. σ2ε = const. В этом случае на графике точки-остатки располагаются равномерно внутри горизонтальной полосы, симметричной относительно горизонтальной оси, во всех других случаях дисперсия остатков не постоянна.

В нашем случае график остатков (рис. 11) не располагается равномерно в симметричной горизонтальной полосе, дисперсия остатков не постоянна.

Рис. 11. График остатков

3. Для разных наблюдений остатки t должны быть некоррелированы (независимы). Требование независимости остатков проверим с помощью DW-теста (критерия ДарбинаУотсона).

22

n

∑(εt − εt−1 )2

Для расчета статистики критерия DW = t=2

n

∑ε2t

t=1

составим расчетную таблицу (рис. 12).

Рис. 12. Расчет DW-статистики

Тогда DW = 3 325 292,6 = 2,30. 1 447 861,7

Для линейного тренда (m = 1) критические значения критерия Дарбина-Уотсона dU и dL находятся по таблице прил. 2 по объему выборки n, числу степеней свободы df = 1 и уровню значимости .

Если dU < DW < 4 – dU остатки независимы, в противном случае – зависимы.

В нашем случае n = 36, = 0,05; dU = 1,52 и dL = 1,40, 4 – dU = 2,48. Так как 1,52 < DW < 2,48 остатки независимы.

4. Остатки должны подчиняться нормальному закону распределения.

Воспользуемся тестом Харке-Бера. Тестовая статистика равна

23

Коэффициент асимметрии А находится с помощью функции «СКОС.Г», коэффициент эксцесса Е – с помощью функции «ЭКСЦЕСС».

Критическое значение χ2 (α,df) находится с помощью функции «ХИ2ОБР» по уровню значимости и числу степеней свободы df = 2.

Если JB < χ2 (α,df), то остатки подчиняются нормальному закону распределения. В противном случае – не имеют нормального распределения.

В нашем случае А = 0,17; Е = –0,71; n = 36; JB = 0,93;

χ2 (0,05, 2) = 5,99.

Так как JB < 5,99 , остатки имеют нормальное распределение.

2.4. Аддитивная модель ряда

Коэффициент корреляции rt находится с помощью функции «КОРРЕЛ». В качестве аргументов функции нужно взять столбцы значений t и yt (t = 1, 2, …, 36) (см. рис. 7).

В нашем случае rt = 0,95, что, согласно шкале Чеддока (см. табл. 4), свидетельствует о сильной зависимости электропотребления от внешних факторов.

Коэффициент детерминации равен

R2 = (rt )2 = (0,95)2 = 0,9051.

Формирование значений электропотребления yt на 90,51% объясняется влиянием внешних факторов.

Результаты моделирования ряда электропотребления удобно записать в виде табл. 7.

Таблица 7

24

Окончание табл. 7

Аддитивная модель yt = yˆ t + εt, = 0,05

2.5. Прогнозирование по уравнению тренда

Для нахождения точечного прогноза или просто прогноза yˆ n+T нужно подставить срок прогноза tпр = n + Т (n – длина ряда, Т – горизонт прогноза, n + T – точка прогноза) в уравнение тренда

yˆ n+T =b0 +b1 (n +T).

В нашем случае прогноз потребления электроэнергии на январь 2024 г. (n =36, T =1, t =n +T =37) составит

yˆ 37 =1335,66 +59,61 37 =3541,31 (МВт·ч).

Прогноз на февраль 2024 г.:

yˆ 38 =1335,66 +59,61 38 =3600,92 (МВт·ч).

Прогноз на март 2024 г.:

yˆ 39 =1335,66 +59,61 39 =3660,53 (МВт·ч).

В целом за первый квартал 2024 г. электропотребление составит

3541,31 +3600,92 +3660,53 =10 802,76 (МВт·ч).

25

На рис. 13 представлены результаты моделирования по уравнению тренда.

Рис. 13. Результаты моделирования электропотребления

26

3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА С УЧЕТОМ СЕЗОННОСТИ

3.1.Построение аддитивной модели временного ряда с сезонной компонентой

Аддитивная модель временного ряда с сезонной компонентой имеет вид

yt = yˆ t + st + εt,

где yt – фактические значения уровней ряда (t = 1, 2, …, n); yˆ t – трендовая компонента; st – сезонная компонента; εt – случайная компонента.

Построим модель с линейным трендом yˆ t = b0 + b1 t

по следующему алгоритму.

1.Сглаженные значения методом скользящей средней (в нашем случае по m = 5 точкам) рассчитаны в пункте 1.2. Их значения записываются в столбце 3 расчетной таблицы (рис. 14)

2.Рассчитываются значения сезонной компоненты (столбец 4 на рис. 14):

st = yt − ytсглаж.

Рис. 14. Расчет сезонной компоненты

27

Внутри цикла сумма сезонных компонент должна равняться нулю. Если это условие не выполняется, сезонные компоненты необходимо скорректировать, заполнив таблицу на рис. 15.

Рис. 15. Расчет скорректированной сезонной компоненты

Встолбцах таблицы «2021», «2022», «2023» записываются значения сезонной компоненты для соответствующего месяца указанного года.

Встолбце «Средняя за месяц» записываются средние за три года значения сезонной компоненты для соответствующего месяца.

Значение корректировочного коэффициента равно

k= −18,0312 = −1,50.

Спомощью корректировочного коэффициента находятся скорректированные значения сезонной компоненты (см. рис. 15).

Значения скорректированной сезонной компоненты переносятся в столбец 5 расчетной таблицы (рис. 16). При этом

28

для соответствующего месяца каждого года значение скорректированной сезонной компоненты одинаково.

Рис. 16. Скорректированные сезонные компоненты

3. В 6-м столбце таблицы скорректированные сезонные компоненты устранены из уровней исходного ряда (рис. 17):

yt1 = yt − stскорр .

Рис. 17. Устранение скорректированной сезонной компоненты из уровней ряда

29

4. По данным 6-го столбца таблицы находится уравнение линейного тренда с помощью пакета «Анализ данных» инструмент «Регрессия» (рис. 18):

yˆ t = 1381,07 + 57,16 t.

Рис. 18. Результаты расчетов коэффициентов

ихарактеристик линейного тренда в аддитивной модели

ссезонной компонентой

Теоретические значения уровней ряда, найденные по уравнению тренда, записываются в 7-м столбце таблицы (рис. 19).

Рис. 19. Расчет теоретических значений уровней ряда по уравнению тренда

30