Анализ и прогнозирование временного ряда электропотребления. Методические указания для выполнения домашнего расчетного задания по курсу «Математически

Рис. 5. Сглаживание ряда электропотребления

1.3. Автокорреляционный анализ

Перед вычислением коэффициентов автокорреляции необходимо составить вспомогательную таблицу (табл. 2).

Таблица 2

Представление данных для расчета коэффициентов автокорреляции

11289,4

12

Окончание табл. 2

В1-м столбце моменты времени с января 2021 по декабрь 2023 г. пронумерованы от 1 до 36.

Во 2-м столбце записаны заданные значения электропотребления с января 2021 по декабрь 2023 г.

В3-м столбце записаны значения из столбца 2, сдвинутые один момент времени (один лаг), и т.д.

Для вычисления коэффициента автокорреляции первого порядка воспользоваться встроенной функцией «КОРРЕЛ».

Вкачестве аргументов берутся элементы 2-го и 3-го столбцов (отмечены заливкой).

Для вычисления коэффициента автокорреляции второго порядка воспользоваться встроенной функцией «КОРРЕЛ».

Вкачестве аргументов взять элементы 2-го и 4-го столбцов. Необходимо учитывать, что размер массивов при вычислении функции «КОРРЕЛ» должен быть одинаков и в данном случае совпадать с длиной 4-го столбца.

Коэффициенты автокорреляции от 3-го до 12-го порядка вычисляются аналогично.

Рассчитанные для соответствующих лагов значения коэффициентов автокорреляции заносятся в табл. 3.

13

Таблица 3

Автокорреляционная функция. Статистическая значимость

В3-м столбце таблицы для каждого лага записаны числа степеней свободы df = n – l – 2.

В4-м столбце записаны критические значения коэф-

фициента корреляции r-Пирсона, найденные по таблице прил. 1 для уровня значимости = 0,05.

На основе табл. 3 на одном рисунке строятся график автокорреляционной функции (коррелограмма) и линия критических значений (рис. 6).

Для всех коэффициентов автокорреляции, лежащих выше линии критических значений, выполняется неравен-

ство | rl | > rlкрит, т.е. они статистически значимы.

Анализ коэффициентов автокорреляции производится на основании шкалы Чеддока (табл. 4).

В нашем случае абсолютное значение коэффициента автокорреляции первого порядка |r1| > 0,7 (0,88 > 0,7), ряд содержит линейную тенденцию.

14

Рис. 6. График автокорреляционной функции

В данном примере наибольшее абсолютное значение имеет коэффициент автокорреляции порядка l = 12 и при этом |rl| = 0,98 > 0,7. Ряд содержит циклические колебания с периодом в 12 моментов времени (данный ряд имеет цикл длиной = 12).

15

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА БЕЗ УЧЕТА СЕЗОННОСТИ

2.1. Построение линейного тренда

Аддитивная модель временного ряда с линейным трендом без учета фактора сезонности имеет вид

yt = b0 + b1 t + εt.

Для построения уравнения линейного тренда yˆ t = b0 + b1 t

можно использовать пакет «Анализ данных», инструмент «Регрессия».

Вменю «Данные» активировать пакет «Анализ данных», выбрать инструмент «Регрессия».

Взагрузочном поле в качестве «Входного интервала Y» ввести столбец значений уровней ряда вместе с заголовком,

вкачестве «Входного интервала Х» ввести столбец момента времени вместе с заголовком, в окне «Метки» поставить флажок (рис. 7).

Рис. 7. Ввод данных в пакете «Анализ данных», инструмент «Регрессия»

16

Для вывода результатов вычислений отметить «Входной интервал» и в активном окне указать ячейку – верхний левый угол вывода итогов (рис. 7).

После выполнения команды «ОК» на текущем листе размещается таблица «ВЫВОД ИТОГОВ» (рис. 8).

Рис. 8. Результаты вычислений в пакете «Анализ данных», инструмент «Регрессия»

В столбце «Коэффициенты» находятся коэффициенты уравнения тренда, а само уравнение имеет вид

yˆ t = 1335,66 + 59,61 t.

2.2. Оценка качества уравнения тренда

Для оценки качества уравнения тренда нужно воспользоваться таблицей «ВЫВОД ИТОГОВ» (см. рис. 8).

1. Проверка статистической значимости уравнения тренда в целом (адекватности уравнения) проводится с помощью F-критерия Фишера.

17

Статистику критерия взять из таблицы «Дисперсионный

анализ» (столбец «F» на рис. 8), Fрасч = 324,20.

Для нахождения критического значения Fкрит(α; df1; df2) задать уровень значимости = 0,05, значения степеней свободы взять из таблицы «Дисперсионный анализ» (столбец df на рис. 8): df1 = 1; df2 = 34.

Критическое значение критерия найти с помощью встроенной функции «FРАСПОБР» Fкрит(0,05; 1; 34) = 4,13.

Если Fрасч > Fкрит, то уравнение линейного тренда в целом статистически значимо. Если Fрасч < Fкрит уравнение в целом статистически незначимо.

В данном случае Fрасч = 324,20 > Fкрит = 4,13 уравнение тренда в целом статистически значимо.

2. Для проверки статистической значимости коэффициентов уравнения тренда b0, b1 можно воспользоваться t-критерием Стьюдента.

Расчетные значения критерия tb0 и tb1 находятся по таблице вывода итогов в столбце «t-статистика» (см. рис. 8):

tb0 = 19,01 и tb1 = 18,01.

Критическое значение критерия tкрит( ; df) находится с помощью встроенной функции «СТЬЮДРАСПОБР», где = 0,05 – заданное значение уровня значимости, число степеней свободы df = 34 находится по таблице «Дисперсионный анализ» (столбец df, строка «Остаток» на рис. 8).

tкрит(0,05; 34) = 2,03.

Если |tbj| > tкрит, то коэффициент bj (j = 0,1) уравнения тренда статистически значим. Если |tbj| < tтабл – bj статистиче-

ски незначим.

В данном случае tb0 = 19,01 > tкрит = 2,03 – коэффициент

b0 статистически значим и tb1 = 18,01 > tкрит = 2,03 – b1 статистически значим.

3. Для оценки точности уравнения тренда рассчитывается средняя абсолютная процентная ошибка

18

Для нахождения МАРЕ в Excel составить расчетную таблицу (табл. 5):

Рис. 9. Расчет теоретических значений уровней ряда

в1-м столбце записываются номера моментов времени t; во 2-м столбце – фактические значения уровней ряда yt;

в3-м столбце – теоретические значения уровней ряда ˆ (рис. 9), рассчитанные по уравнению тренда;

в4-м столбце – значения величины, стоящей под знаком суммы в формуле MAPE (рис. 10).

Таблица 5

Расчет точности МАРЕ уравнения тренда

19

Окончание табл. 5

Рис. 10. Расчет точности уравнения тренда

В нашем примере значение

МАРЕ = 361 2,0737 100%= 5,76% меньше 10%, точность уравнения тренда высокая.

20