Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра. Часть 1. Матрицы. Определители. СЛАУ. В 2 частях. Ч.1. Электронное учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

713 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Решение.

Сделаем элементарные преобразования над расширенной

матрицей заданной системы:
		1	1	3		1	1	1	1	3		1	0	2	0	1

1 1			2						1
1	2	0		5	~	0	1	−1		2	~	0	1	−1 1		2	.
	3	−1 3		7		0	2	−2 2		4		0	0	0	0	0
1

Здесь вначале первая строка матрицы вычиталась из второй и третьей, затем, вторая строка умножалась на 1 и 2 и вычиталась соответственно из первой и третьей строки.

Последней матрице соответствует следующая система уравнений:

		х1 +2х3 =1,
		х	2	− х		+	х		4		= 2.
			2		3				4
Отсюда получим общее решение исходной системы
		х	=1 − 2				х			,
		1						3
		х2 = 2 + х3 − х4 .
Пусть х3	=t, х4 = s, s R, t R ,											тогда общее решение
будет иметь вид (1−2t, 2 +t − s,t, s).
Полагая	t = s = 0,	находим				частное						базисное решение
(1, 2,0,0).
Задача 2.5. При каких значениях a система
	ax + x			2	+ x	3	= 0,
		1		2	− x	3	=			0,
	x +ax			2	− x	3	=			0,
		1		2		3
		2x1 − x2			+ x3		=			0

имеет нетривиальные решения? Найти эти решения.

Решение.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие значения a :

	a	1	1	= 0 a2 −3a −4 = 0 a = −1, a
	a	1	1
∆ =	1	a −1							2	= 4 .
	2	−1	1					1	2
	2	−1	1
Найдем теперь соответствующие решения.
1. При a = −1 система имеет вид :
				− x		+ x	2	+ x = 0
					1		2	3
					x1 − x2 − x3 = 0 .
					2x1	− x2		+ x3 = 0
					2x1	− x2		+ x3 = 0

Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем

x1 − x2 − x3 = 0,2x1 − x2 + x3 = 0.

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных x1 ,x2 не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем x1 ,x2 (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с x3 в правые части уравнений:

x1		− x2		= x3	,
2x		− x	2	= −x ..
	1				3

Полученную систему можно решить по формулам Крамера:

x =

1 , x

2 ,

где ∆ =

−1

, ∆ =

−1

= −2x

, ∆

= −3x .

−1

− x3

−1

− x3

Тогда

x1 = −2x3 ,

x2 = −3x3 .

Полагая

− x3 = k , где

k −произвольное действительное число, получаем решение системы: x1 = 2k , x2 = 3k , x3 = −k .

2. При a = 4 система имеет вид:

4x		+ x	2	+ x	3	= 0,
	1
x1	+ 4x2			− x3		= 0, .
		− x2		+ x3 = 0.
2x1

Можно решить эту систему и методом Гаусса. Составим расширенную матрицу B полученной системы:

	4	1	1
B =	1	4	−1
	2	-1	1
	2	-1	1

и приведем ее к матрице ступенчатого вида :

					1 4						−1 0						1			4							−		1 0
			B~		2			−1				1 0			~		0		−		9 3 0										~
					4 1							1 0					0		−15 5 0
					4 1							1 0					0		−15 5 0
				~		1 4					−1 0					~	1			4 −							1 0
				~		0 3					−1 0					~		0		3				−			1		0	.
						0			0			0		0				0		3				−			1		0
						0			0			0		0
Восстановим систему для полученной матрицы
x		+ 4x		2	− x			3	= 0,					x			+ 4x			2	− x					3		= 0,
	1			2				3	=	0,						1				2						3
			3x2		− x3				=	0,										3x2 = x3 ,
		x + 4x					2	− x		3	= 0,					x		= −				x3			,
		x + 4x						− x			= 0,					x		= −							,
			1														1				3 .
										x3											3 .
						x		2	=				,				x2		=		x		3	.
						x		2	=	3			,								x		3
										3											3
																					3
Полагая	x3 = 3t ,						где				t − произвольное														действительное							число,
получаем решение системы : x1 = −t ,x2 = t ,x3 = 3t .
Ответ: при						a = −1 система											имеет						нетривиальные решения:
x1 = 2k ,	x2 = 3k ,							x3 = −k ,						k R .					При								a = 4				система	имеет

нетривиальные решения : x1 = −t ,x2 = t ,x3 = 3t , t R .

Вопросы для самоконтроля по теме 2

1.Дайте определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

2.Какую СЛАУ называют совместной?

3.Что называют несовместной СЛАУ?

4.Что называют решением СЛАУ?

5.Что называют частным решением СЛАУ?

6.Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

7.Напишите формулы Крамера решения СЛАУ. В каких случаях их можно применять?

8.Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

9.Опишите схему решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

10.Какую СЛАУ называют неоднородной?

11.Что называют однородной СЛАУ?

12.Как найти решение системы линейных однородных уравнений?

13.Что называется фундаментальной системой решений?

14.Какова геометрическая интерпретация системы линейных уравнений и неравенств?

15.Сформулируйте определение определенной СЛАУ.

16.В чем смысл «обратного хода» метода Гаусса?

17.Можно ли найти фундаментальную систему решений для неоднородной СЛАУ?

18.Какой факт помогает установить теорема Кронекера-

Капелли?

19.Какое тривиальное решение имеет всякая однородная

СЛАУ?

20.Всегда ли совместна однородная СЛАУ?

21.Какое решение СЛАУ называет базисным?

22.Какие СЛАУ называют равносильными?

Упражнения для самостоятельного решения по теме 2

1. Решить системы уравнений методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Сравнить результаты:

+2x

+ x

+2x

− x = 0

а)

−2x1 +3x2 −3x3 = −5

б) 3x1 +4x2 +6 = 0

−4x2 +5x3 =10

+ x3 =1

3x1

−3x

− x

+6 = 0

+ x

+6 = 0

в) 3x1 +4x2 +3x3 +5 = 0

г) x1

−2x2 − x3 =5

+4x2 −2x3 =13

x1 + x2 + x3 +2 = 0

3x1

2. Найти базисное решение СЛАУ:

х1 +3х2 +3х3 −2х4 + х5 = 8,

+7х3

−

х4 = 21,

2х1 +6х2

+7х3

−

13х4 +4х5 =12.

3х1 +9х2

3. Решить методом Крамера системы уравнений:

3х + 2у

= 7,

ах −3у =1,

х −5у = 4.

ах − 2у = 2.

х1 + 2х2 + 4х3

= 31,

2х−

4у +3z =1,

+ х2

+ 2х3

= 29,

у + 4z = 3,

5х1

х−

− х

+ х

=10.

у +5z = 2.

3х

3х−

4. Исследовать СЛАУ на совместность, определенность и, если это возможно, найти общее, частное решение и фундаментальную систему решений.

− х

= 4,

− 2х

+ х

=1,

3х1

+ 4х2 − 2х3 =11,

х1

− 2х2

+ х3

− х4

= −1,

− 2х2 + 4х3 =11.

− 2х2

+ х3

+ 5х4 =5.

3х1

х1

−

+ х

х1 −2х2

−3х3 = −1,

3) х

4) 2х1 + х2

−2х3 =1,

− х

+ х

−

2х

3х2 −3х3

−3х4

+ 4х5

= 2,

+ х2 + х3 = 3,

3х1 +

х1

−5

+ 7

= 3.

+2х2 −3х3 =1.

х1

х1 +3х2 +3х3 −2х4 + х5 = 0,

5)1 6х2 +7х3 − х4 = 0,

3х1 + 4х2 +7х3 −3х4 + 4х5 = 0,

2х1 +6х2 − х3 + 2х4 = 0.

5.Решить матричные уравнения:2х +

	1 1			0	x		0			2	2	−1		5 5 2
					x					2	2	−1

1)					y	=		,	2) X	2 −1 2			=			,
1)		0 3		2	y	=		,	2) X	2 −1 2			=	5 8	−1	,
		0 3		2			5			−1	2	+2		5 8	−1
					z					−1	2	+2
			1	0	0	2
			1	0	0	3	= 8.
3)	X −1		0	2	0	3	= 8.
			0	0	3	4
						4

6.С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 180 и 260 машин. Первый завод выпустил 240 машин, а второй – 200 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода на каждое автохозяйство: 8 ден.ед. тратится на перевозку с 1-го завода в 1-е автохозяйство, 10 ден.ед. – с 1-го завода во 2-е автохозяйство, 12 ден.ед. – со 2-го завода

в1-е автохозяйство, 10 ден.ед. – со 2-го завода во 2-е автохозяйство. Составить такой план перевозок, при котором минимальные затраты на перевозку равны 4360 ден. ед.

7.Что произойдет с решениями системы линейных уравнений,

решаемой по правилу Крамера, если поменять местами i-е и k-е уравнения (1< i, k < n)?

8. Пусть множество точек пространства, соответствующих

решениям СЛАУ относительно трех неизвестных, изображены на рис. 1 (а-з). Дайте описание каждому случаю.

Рис. 1. Множества точек пространства

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1.

Задачи № 1.1‒1.10. Найти сумму матриц А+ В, их произведение АВ, ВА и А3 (если такие операции существуют).

1.1.	−1		−2	,
1.1.	А =			,
		3	2
		3	2

	1		2
1.2.				,
1.2.	А =			,
	3		1
1.3.	6		1	,
1.3.	А =			,
		2
		2	1
1.4.	4		2		,
1.4.	А =				,
		3
		3	1
	3		−2
1.5.						,
1.5.	А =	5	−4			,
		5	−4
	3		−2
1.6.						,
1.6.	А =	5	−4			,
		5	−4
	2		−3
1.7.						,
1.7.	А =	4	−6			,
		4	−6
1.8.		5	7			,
1.8.	А =					,
		−4	6
		−4	6
1.9.	1		−2			,
1.9.	А =					,
		0	4
		0	4
		4	−2
1.10. А =							,
1.10. А =			−1				,
		5	−1

3		1	−3
В =
	2	0		1
	2	0		1
−1		−6

В =	1	1
	1	1
−4		−4
В =
	−2	1
	−2	1
−1		4

В =	3
	3	−3
5		−1		−7
В =
	2	4		1
	2	4		1
3		4
В =
	2
	2	5
9		−6
В =
	6	−4
	6	−4
4		−7

В =	2	−4
	2	−4
7		4
В =
	2
	2	1
−1		2

В =	3	−2
	3	−2

Задание 2.

Задачи № 2.1‒2.10. Найти значение матричного многочлена f (A), если

	3	2	1			5
2.1.	f (x) = 3x + x	+ 2,
2.1.	f (x) = 3x + x	+ 2,	A =	0
				0	−3
2.2.	f (x) = 2x3 −3x2 +5,		A =		1	2
2.2.	f (x) = 2x3 −3x2 +5,		A =
					−2	3
					−2	3

2.3.f (x)

2.4.f (x)

2.5.f (x)

2.6.f (x)

2.7.f (x)

2.8.f (x)

2.9.f (x)

= −x3 +2x2		− x +3, A =	2	3
= −x3 +2x2		− x +3, A =

			0	−1
= −x3 +2x2		2		−1
= −x3 +2x2		− x +3, A =
			−3
			−3	0
= −x3 +2x2		0		3
= −x3 +2x2		− x +3, A =
			−1
			−1	−2
= −x3 +3x2			0	3
= −x3 +3x2		+ x − 2, A =
				− 2
			−1	− 2
3	2	2		−1

= x −3x +2x −2, A =			−3
			−3	0
= −x3 +3x2		+ x −2, A =	2	3
= −x3 +3x2		+ x −2, A =

			0	−1
= x3 −3x2 + 2x −2, A =			−1	0
= x3 −3x2 + 2x −2, A =

			3	2

2.10.	f (x) = x3 −3x2	0		3
		+2x −2, A =
			−1	−2

Задание 3.

Задачи № 3.1‒3.10. Вычислить определители второго, третьего и четвертого порядков.

	−1		−6					−1	5	7									1		2	3	4


																			2		3	0	3

3.1.				,	3				4	2		,
	1		1		1				0	2									3		5	3	7
					1				0	2									5		1	2	1
																			5		1	2	1
	−1		−2					2	1	−3								1			4		3	1


																		5			0		2	1

3.2.				,				5	4	7				,
	3		2					1	3	−2								3			1		1	0
								1	3	−2								2			−1		1	1
																		2			−1		1	1
	1	2			2				4	5							2				7		4	1


																	0				−3		−2	9

3.3.			,					−2	3	4					,
	3	1			5				1		−1						1				0		4	8
					5				1		−1						1				7		0			−7
																	1				7		0			−7
	6	1				5			2	−3							3				−2		4	1


																	2				5		3	2

3.4.			,			1			3	−1			,
	2	1				2			2	−1							0				19		1	4
						2			2	−1							5				−16		6		−1
																	5				−16		6		−1
	−4		−4		3				2	1							3				1		0	4


																	2				5		6	7

3.5.				,	1				5	3	,
	−2		1		3				4	2										−1	4		6	3
					3				4	2										−5	7		12	2
																				−5	7		12	2
	4	2					4		−2	1										0	1	0	2


																				0	0	1	3

3.6.			,				2		3		− 2					,
	3	1					1		3		− 4									1	2	3	14
							1		3		− 4									4	5	6	32
																				4	5	6	32

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]