Математическое моделирование транспортных и транспортно-технологических машин и комплексов. Методические рекомендации по выполнению курсовой работы

3.Обоснованный выбор и программирование критерия останова отсеивания;

4.Обоснованный выбор и программирование критериев останова декомпозиции.

4.2.1Алгоритм эмпирической модовой декомпозиции.

Алгоритм эмпирической декомпозиции сигнала складывается из следующих операций его преобразования.

Операция 1.

Находим в сигнале y положение всех локальных экстремумов, максимумов и минимумов процесса (номера точек ki.ext экстремумов), и значения y(ki.ext) в этих точках. Между этими экстремумами сосредоточена вся информация сигнала. Группируем раздельно для максимумов и для минимумов массивы координат ki.ext и соответствующих им амплитудных значений у(ki.ext). Число строк в массивах максимумов и минимумов не должно отличаться более чем на 1.

Операция 2.

Кубическим сплайном (или каким-либо другим методом из перечисленных в разделе 4.1.1) вычисляем верхнюю ut(t) и нижнюю ub(t) огибающие процесса соответственно, по максимумам и минимумам, как это показано на рисунке 4.1 (синий и зелёный цвет). Определяем функцию средних значений m1(t) между огибающими (черный цвет) (4.9).

Разность между сигналом y(t) и функцией m1(t) дает нам первую компоненту отсеивания (Sifting) — функцию h1(t), которая является первым приближением к первой функции IMF:

Рисунок 4.1 — Огибающие и функция средних значений m1(t)

21

Операция 3.

Повторяем операции 1 и 2, принимая вместо y(t) функцию h1(t), и, по формуле (4.11), находим второе приближение к первой функции IMF — компоненту отсеивания h2(t), как показано на рисунке 4.2.

Последующие операции выполняются аналогично, т.е. действует алгоритм итераций нахождения первой функции IMF (4.12).

(4.12)

По мере увеличения количества итераций функция mi(t) стремится к нулевому значению, а функция hi(t) — к неизменяемой форме. С учетом этого, естественным критерием останова итераций является задание определенного предела по нормализованной квадратичной разности между двумя последовательными операциями приближения.

Рисунок 4.2 — Огибающие функции h1(t) и функция средних значений m2(t)

Как правило, для выполнения качественного отсеивания модовых функций достаточно 6...8 итераций. Слишком строгий критерий останова может завышать количество IMF и создавать компоненты, не несущие какой–либо полезной информации. С другой стороны, при слабом критерии возможно отсеивание IMF, не полностью удовлетворяющих свойствам модовых функций, что может приводить к появлению в этих IMF отрицательных мгновенных частот.

Останов итераций по нормализованной квадратичной разности исторически был первым по применению. В 2003 г. Quek [9] предложил другой, более эффективный критерий переменной меры, определенной по формуле (4.13):

n

hi 1 (t k ) 2

k 0

22

Однако для сложных и объемных (по количеству отсчетов) сигналов в процессе итераций может изменяться количество выделяемых экстремумов (появление ранее «скрытых» экстремумов), при этом наблюдаются скачки значения δ в большую сторону, начиная с которых снова начинается процесс уменьшения δ, а общее количество итераций может увеличиваться до 20...30 без существенного повышения качества отсеивания. Опыт показывает [2], что для оптимальных отсеиваний число итераций порядка 6...8 является вполне достаточным. Все большее применение находит и другие критерии останова процесса отсеивания, ориентированные на характер и особенности обрабатываемых данных, и останов по нескольким критериям с заданием определенных логических условий по их соотношению (например, по порогу δ, но не более J-итераций, и т.п.).

Для процессов, исследуемых в рамках выполняемой курсовой работы, останавливать просеивание рекомендуется по выполнению следующего критерия:

где J — количество итераций просеивания.

Последнее значение hi(t) итераций принимается за наиболее высокочастотную функцию с1(t) = hi(t) семейства IMF, которая непосредственно входит в состав исходного сигнала y(t). Это позволяет вычесть с1(k) из состава сигнала и оставить в нем более низкочастотные составляющие (показано на рисунке 4.3):

(4.15)

Функция r1(t) обрабатывается как новые данные по аналогичной методике с нахождением второй функции IMF – c2(t), после чего процесс продолжается:

Рисунок 4.3 — Разложение исходных данных (у) на первую моду (с1) и остаток (r1)

Полный алгоритм EMD приведен на рисунке 4.4.

23

Рисунок 4.4 — Алгоритм эмпирической модовой декомпозиции временного ряда

4.2.2 Критерии останова процесса декомпозиции.

Критерии останова процесса декомпозиции сигнала могут быть следующими:

1.Остаток rn(t) не содержит экстремальных точек, т.е. становится либо константой, либо монотонной функцией, из которой больше не может быть извлечено функций IMF.

2.Остаток rn(t) во всем интервале задания сигнала становится несущественным по своим значениям по сравнению с сигналом и не представляет интереса для анализа.

3.Так как суммирование всех функций IMF (реконструкция сигнала) должно давать исходный сигнал, то можно останавливать разложение заданием относительной погрешности среднеквадратической реконструкции (без учета остатка rn(t)).

4.По мере увеличения количества функций IMF относительная среднеквадратическая погрешность реконструкции достаточно сложных и протяженных сигналов уменьшается, но, как правило, имеет определенный минимум. По-

24

видимому, это определяется попытками алгоритма разложить остаток на функции, частично компенсирующие друг друга. Соответственно, останов программы может выполняться, если следующая выделенная функция IMF увеличивает погрешность реконструкции.

Другими словами, остановка декомпозиции сигнала должна происходить при максимальном «выпрямлении» остатка, т.е. превращения его в тренд сигнала по интервалу задания с числом экстремумов не более 2...3. Даже для данных с нулевым средним значением конечный остаток может отличаться от нуля. Чтобы применять метод EMD, центрирования данных не требуется, метод нуждается только в локализациях экстремумов. Нулевая линия для каждого компонента декомпозиции будет сформирована процессом отсеивания. Извлеченные IMFs локально симметричны, имеют физически значимые функции мгновенных частот, различные IMFs не показывают ту же самую частоту в то же самое время. Каждая IMF содержит более низкие частотные составляющие, чем извлеченная перед ней.

Критерий останова процесса декомпозиции выбирается обучающимся самостоятельно. Выбор критерия должен быть обоснован в работе.

Результаты работы представляются в пояснительной записке в виде листинга функций для проведения EMD.

4.3 Создание математической модели исходного сигнала на основе выполненного разложения

Результатом выполнения курсовой работы является математическая реконструкция исходного сигнала, которая представляет собой сумму функций всех эмпирических мод и функции остатка, записанную в виде (3.9). Результаты расчётов представляются в пояснительной записке в виде графиков функций эмпирических мод и остатка (см. рисунок 4.5).

25

Рисунок 4.5 — Разложение исходных данных (у) на эмпирические моды (с1...8) и остаток (r8)

Кроме того, в записке приводятся все начальные условия и принятые значения переменных с соответствующими пояснениями. Программная реализация модели сигнала должна предусматривать возможность экспорта полученных результатов в виде функциональных коэффициентов и временных рядов, что отражается включением в записку листинга соответствующих функций.

26

Литература.

Основная

[1]Гурский Д. А., Турбина Е. С. Вычисления в MathCAD. — СПб.: Питер, 2006. — 544 с.: с ил.

[2]Давыдов В.А., Давыдов А.В. Очистка геофизических данных от шумов с использованием преобразования Гильберта-Хуанга // Электронное научное издание «Актуальные инновационные исследования: наука и практика», 2010, № 1. http://www.actualresearch.ru.

Дополнительная

[3]Отчёт по НИР. Рег. № 114121550021. Леонова О. В., Ганшкевич А. Ю. и др. Экспериментальная оценка вибрационных нагрузок на металлоконструкции кранов при их работе. — М.: ФБОУ ВПО МГАВТ,— 2014.

[4]Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т./ Ред. совет: В. Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1978–1981.— Т. 1. Колебания линейных систем/ под ред. В. В. Болотина. 1978 — 352 с.: с ил.

[5]ГОСТ 24346-80 Вибрация. Термины и определения.

[6]Блехман И. И. Вибрационная механика. — М.: Физматлит, 1994.— 400 с.: с ил.

[7]Отчёт по НИР. Рег. № 114122540040. Леонова О. В., Ганшкевич А. Ю. и др. Экспериментальная оценка величины динамических нагрузок при работе грузоподъёмных кранов — М.: ФБОУ ВПО МГАВТ, — 2014.

[8]Huang N. E. Shen Z., Long S. R., Wu M. C., Shih H. H., Zheng Q., Yen N.-C., Tung С. C., and Liu H. H. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. Proceedings of R. Soc. London, Ser. A, 454, pp. — 903–995,— 1998.

[9]Quek, S., Tua, P., and Wang, Q. Detecting anomalies in beams and plate based on the Hilbert–Huang transform of real signals. Smart Materials and Structures 12. — 2003, pp. 447–460.

27

Ганшкевич Алексей Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ И ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН И КОМПЛЕКСОВ

Методические рекомендации по выполнению курсовой работы

Компьютерная верстка: Михайлик Е.В.

Подписано в печать………………..2015 г. Формат 60х90/16. Объем …………..п.л.

Заказ №…………. Тираж ……….экз.

Альтаир–МГАВТ Московская государственная академия водного транспорта

117105, г. Москва, Новоданиловская набережная, д.2, корп. 1

28