Математическое моделирование транспортных и транспортно-технологических машин и комплексов. Методические рекомендации по выполнению курсовой работы

подвергнуть однократному или двухкратному интегрированию и получить либо скорость, либо смещение.

Для описания и измерения механических вибраций на некотором промежутке времени используются следующие статистические характеристики [4]:

Максимальная амплитуда (Пик) Аmax — это максимальное отклонение от нулевой точки или от положения равновесия.

Размах (Пик-Пик) — это разница между положительным и отрицательным пиками. Для синусоидального колебания размах в точности равен удвоенной пиковой амплитуде, так как временная реализация в этом случае симметрична. Однако в общем случае это неверно.

Среднеквадратическое значение амплитуды (СКЗ) равно квадратному корню из среднего квадрата амплитуды колебания. Для синусоидальной волны СКЗ в 1,41 раза меньше пикового значения, однако, такое соотношение справедливо только для указанного случая.

СКЗ является важной характеристикой амплитуды вибрации. Для ее расчета необходимо возвести в квадрат мгновенные значения амплитуды колебаний и усреднить получившиеся величины по времени. Для получения правильного значения, интервал усреднения должен быть не меньше одного периода колебания. После этого извлекается квадратный корень и получается СКЗ. СКЗ должно применяться во всех расчетах, относящихся к мощности и энергии колебания.

3.4 Классификация колебательных процессов

По повторяемости и закону изменения функции колебательные процессы разделяются на:

-периодические колебания, такие, для которых любые значения колеблющейся величины повторяются через равные отрезки времени

-гармонические колебания есть вид периодических колебаний, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону:

где А – амплитуда колебаний; φ – начальная фаза колебаний.

A, ω, φ – постоянные параметры. Аргумент ωt + φ называется фазой колебаний в момент времени t. Период гармонических колебаний выражается через угловую частоту:

-полигармонические колебания также являются одним из видов периодических колебаний. Полигармонические колебания это колебания, которые могут быть представлены в виде суммы двух или более гармонических колебаний с частотами (периодами), находящимися между собой в рациональном соотношении.

-непериодические колебания.

Непериодические колебания делятся на стационарные и нестационарные Стационарные колебания по определению заданы на отрезке - ∞ < t < ∞. Их

можно определить как колебания, происходящие около постоянного среднего значения, причем максимальные и минимальные значения колеблющейся величины, достигаемые на некотором достаточно большом отрезке времени, относительно мало изменяется при перемещении этого отрезка по временной оси.

Среди колебательных процессов, которые нельзя отнести к стационарным, различают затухание и расходящиеся колебания. Колебания называют затухающими, если максимальное по модулю значение колеблющейся величины убывает (не обязательно монотонно) во времени, причем при t → ∞ эти значения стремятся к нулю.

Примером стационарных колебаний могут служить почти периодические колебания. Строгое определение почти периодических колебаний базируется на понятии почти периодических функций.

Почти гармонические колебания это такие колебания, при которых закон изменения колеблющейся величины может быть представлен в виде:

где A (t), ω (t), γ(t) — функции, медленно изменяющиеся по сравнению с функцией cos(ωt).

Биениями называют почти гармонические колебания, амплитуда A(t) которых является колеблющейся функцией времени с квазипериодом, большим по сравнению с квазипериодом 2π/ω несущего колебательного процесса. В простейшем случае биения можно получить при наложении двух гармонических колебаний с близкими частотами ω1 и ω2.

3.5 Основы метода эмпирической модовой декомпозиции1

Эмпирическая модовая декомпозиция сигналов (Empirical Mode Decomposition, EMD) была предложена Норденом Хуангом в 1995 в США (NASA) как часть преобразования Гильберта–Хуанга (Hilbert–Huang transform — HHT) для

1 Подробное описание метода эмпирической модовой декомпозиции см. [2], [8], [9].

12

изучения поверхностных волн тайфунов. В 1998 г коллективом соавторов было сделано обобщение на анализ произвольных временных рядов. [8].

Под преобразованием Гильберта–Хуанга понимается метод эмпирической модовой декомпозиции (EMD) нелинейных и нестационарных процессов и Гильбертов спектральный анализ (HSA). HHT представляет собой частотновременной анализ данных (сигналов) и не требует априорного функционального базиса преобразования. Функции базиса получаются адаптивно непосредственно из данных процедурами отсеивания функций «эмпирических мод». Мгновенные частоты вычисляются от производных фазовых функций Гильбертовым преобразованием функций базиса. Заключительный результат представляется в частотно–временном пространстве.

Традиционные методы анализа данных предназначены, как правило, для линейных и стационарных сигналов и систем, и только в последние десятилетия начали активно развиваться методы анализа нелинейных, но стационарных и детерминированных систем, и линейных, но нестационарных данных (вейвлетный анализ, распределение Wagner–Ville и др.). Между тем, большинство естественных материальных процессов, реальных физических систем и соответствующих этим процессам и системам данных в той или иной мере являются нелинейными и нестационарными, и при анализе данных используются определенные упрощения, особенно в отношении априорно устанавливаемого базиса преобразования данных в новые, удобные для обработки и анализа метрические пространства.

Необходимое условие корректного представления нелинейных и нестационарных данных заключается в том, чтобы иметь возможность формирования адаптивного базиса, функционально зависимого от содержания самих данных. Такой подход и реализуется в методе HHT, хотя на данный момент без достаточно строгих математических обоснований. Хорошие результаты применения метода для решения многих практических задач позволяют надеяться, что за разработкой строгой теории метода дело не станет.

EMD (Empirical Mode Decomposition) — метод разложения сигналов на функции, которые получили название внутренних или «эмпирических мод». Метод представляет собой адаптивную итерационную вычислительную процедуру разложения исходных данных (непрерывных или дискретных сигналов) на эмпирические моды или внутренние колебания.

У каждого сигнала имеются локальные экстремумы: чередующиеся локальные максимумы и локальные минимумы с произвольным расположением по координатам (независимым переменным) сигналов. По этим экстремумам с использованием методов аппроксимации можно построить две огибающие сигналов: нижнюю — построенную по точкам локальных минимумов, и верхнюю -

13

построенную по точкам локальных максимумов, а также функцию «среднего значения огибающих», которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между нижней и верхней огибающими.

Модовая декомпозиция сигналов основана на предположении, что любые данные состоят из различных внутренних колебаний (эмпирических мод, intrinsic mode functions, IMF). В любой момент времени данные могут иметь множество сосуществующих внутренних колебаний — IMFs. Каждое колебание, линейное или нелинейное, представляет собой модовую функцию, которая имеет экстремумы и нулевые пересечения. Кроме того, колебания в определенной степени «симметричны» относительно локального среднего значения. Конечные сложные данные образуются суммой модовых функций, наложенных на региональный тренд сигнала.

Эмпирическая мода — это такая функция, которая обладает следующими свойствами:

1.Количество экстремумов функции (максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.

2.В любой точке функции среднее значение огибающих, определенных локальными максимумами и локальными минимумами, должно быть нулевым.

IMF представляет собой колебательный режим, но вместо постоянной амплитуды и частоты, как в простой гармонике, у IMF могут быть переменная амплитуда и частота, как функции независимой переменной (времени, координаты, и пр.). Первое свойство гарантирует, что локальные максимумы функции всегда положительны, локальные минимумы соответственно отрицательны, а между ними всегда имеют место пересечения нулевой линии. Второе свойство гарантирует, что мгновенные частоты функции не будут иметь нежелательных флуктуаций, являющихся результатом асимметричной формы волны.

Любую функцию и любой произвольный сигнал, изначально содержащие произвольную последовательность локальных экстремумов (минимум 2), можно разделить на семейство функций IMFs и остаточный тренд. Если данные лишены экстремумов, но содержат точки перегиба («скрытые» экстремумы наложения модовых функций и крутых трендов), то для открытия экстремумов может использоваться дифференцирование сигнала.

Допустим, что имеется произвольный сигнал y(t). Сущность метода EMD заключается в последовательном вычислении функций эмпирических мод cj(t) и остатков rj (3.8):

где j = 1, 2, 3, …, n при r0 = y(t). Результатом разложения будет представление сигнала в виде суммы модовых функций и конечного остатка (3.9):

14

n

y(t) c j (t) rn (t) (3.9)

j 1

где n — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.

Таким образом, входной сигнал y(t) в соответствии с выражением (3.9) раскладывается по базису, который, не определен аналитически, но удовлетворяет всем традиционным требованиям базиса. На основании проверки на модельных

иопытных данных он является [[2]]:

-законченным и сходящимся (сумма всех функций IMF и остатка равна исходному сигналу и не зависит от критериев останова итераций),

-ортогональным (все IMF и остаток ортогональны друг другу),

-единственным.

И, что самое главное — он является адаптивным, так как получен непосредственно из анализируемых данных эмпирическим методом.

Ортогональность базиса может быть проверена скалярным произведением любых пар компонентов IMF. Сумма (3.9) всех компонентов IMF, включая остаток, должна реконструировать входной сигнал и может использоваться для определения ошибки декомпозиции. Как правило, наибольшие локальные ошибки декомпозиции наблюдаются на концевых участках входного массива данных. Для исключения ошибок рекомендуется задавать интервалы начальных и конечных условий, а сигнал на этих интервалах формировать какой-либо функцией прогнозирования, или продлевать (четно или нечетно) функцией самого сигнала.

Н. Хуанг утверждает также [8], что базис разложения является единственным. Но это утверждение можно считать спорным [2]. Эмпирический процесс разложения сигнала в силу своей адаптивности неуправляем, по крайней мере, в настоящей форме. Даже монотональные составляющие многокомпонентного сигнала при определенном влиянии дестабилизирующих факторов (шумов, импульсных помех и т.п.) и близких по частоте соседних компонент могут при декомпозиции «перетекать» на отдельных временных интервалах в модовые функции соседних IMF.

15

4. Методические указания по выполнению отдельных разделов работы

4.1 Подготовка исходных данных к дальнейшей цифровой обработке

Для обеспечения корректной работы алгоритмов частотного анализа необходимо, чтобы изменения значений измеряемого параметра фиксировались через одинаковые промежутки времени. К сожалению, при проведении экспериментальных исследований не всегда удаётся выполнить указанное условие. Поэтому, прежде чем приступить к цифровой обработке имеющихся экспериментальных данных, необходимо выполнить их подготовку, которая заключается в создании равномерного временного ряда. Подготовка данных проводится в три этапа:

1.Моделирование исходного дискретного ряда непрерывной функцией;

2.Дискретизация графика получившейся функции с заданным шагом по времени;

3.Продление получившегося временного ряда в обе стороны на несколько значений для ослабления краевых эффектов при декомпозиции.

В ходе реализации данного этапа работы обучающийся последовательно решает следующие задачи:

1.Организация взаимодействия программного комплекса MathCAD с внешними источниками данных (чтение–запись);

2.Обоснованный выбор и программная реализация метода интерполяции;

3.Разработка математической модели исходного процесса и подготовка равномерного временного ряда на основе полученной модели;

4.Выбор и программирование экстраполяции подготовленного временного ряда;

5.Организация передачи смоделированного временного ряда для дальнейшей работы.

4.1.1Моделирование исходного временного ряда непрерывной функцией

Исходные данные выдаются преподавателем и представляют собой текстовый файл (формат *.txt), содержащий массив данных с результатами натурных измерений ускорения заданных точек металлоконструкции подъёмнотранспортной или строительно–дорожной машины вида (4.1).

16

где i [1; n] — порядковый номер измерения;

ti – момент времени, соответствующий i-му измерению;

уi – величина ускорения, соответствующая i-му измерению.

Моделирование исходного ряда рекомендуется выполнять с помощью линейной или полиноминальной интерполяции. Для выполнения интерполяции в программе MathCAD имеется несколько различных возможностей, реализуемых встроенными функциями:

1. Линейная интерполяция.

При линейной интерполяции MathCAD соединяет существующие точки данных прямыми линиями. Это выполняется функцией linterp, описанной ниже.

Функция linterp (vx, vy, x) использует векторы данных vx и vy, чтобы возвратить линейно интерполируемое значение y, соответствующее третьему аргументу x. Аргументы vx и vy должны быть векторами одинаковой длины. Вектор vx должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возрастания.

Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки ломаной.

Для значений x, расположенных перед первой точкой в vx, MathCAD продолжает ломаную прямой линией, проходящей через первые две точки данных. Для значений x, расположенных за последней точкой в vx, MathCAD продолжает ломаную прямой линией, проходящей через последние две точки данных.

Для получения наилучших результатов значение x должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx — маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для x вне этого диапазона. Функция linterp предназначена для интерполяции, а не экстраполяции.

2. Кубическая сплайн–интерполяция

Кубическая сплайн–интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трёх смежных точек. Кубические полиномы затем состыковываются друг с другом, чтобы образовать одну кривую.

Чтобы провести кубический сплайн через набор точек:

Создайте векторы vx и vy, содержащие координаты x и y, через которые нужно провести кубический сплайн. Элементы vx должны быть расположены в порядке возрастания. (Хотя мы используем имена vx, vy и vs, нет никаких ограничений на имена этих переменных; можно использовать любые имена.)

17

Вычислите вектор vs := cspline( vx, vy). Вектор vs содержит вторые производные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках.

Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке, скажем x0, вычислите interp(vs, vx, vy, x0), где vs, vx и vy — векторы, описанные ранее.

Обратите внимание, что можно сделать то же самое, вычисляя: interp(cspline( vx, vy), vx, vy, x0).

Выражение с функцией cspline вычисляет массив вторых производных vs для сплайна, используемого для интерполяции данных из vx и vy.

Как только массив vs найден, функция interp вычисляет интерполируемые значения.

Обратите внимание, что массив vs должен вычисляться только один раз, даже для множественных интерполяций. Так как вычисление vs требует много времени, лучше сохранять промежуточные результаты в виде вектора, чем повторно вычислять их по мере необходимости.

В дополнение к cspline MathCAD поставляется с двумя другими кубическими сплайн–функциями. Три сплайн–функции: cspline(vx, vy), pspline(vx, vy), lspline(vx, vy).

Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp, описанной ниже. Аргументы vx и vy должны быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в vx должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.

Они все возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть vs. Этот вектор, vs, обычно используется в функции interp, описанной ниже. Аргументы vx и vy должны быть вещественнозначными векторами одинаковой длины. Значения в vx должны быть вещественны и расположены в порядке возрастания.

Эти три функции отличаются только граничными условиями:

-функция lspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точках.

-функция pspline генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.

-функция cspline генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.

Функция interp (vs, vx, vy, x) возвращает интерполируемое значение y, соответствующее аргументу x. Вектор vs вычисляется на основе векторов данных vx

и vy одной из функций lspline, pspline или cspline.

18

Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки сплайна. Для значений x, расположенных перед первой точкой в vx, MathCAD продолжает сплайн первой из составляющих его кубических парабол. Для значений x, расположенных за последней точкой в vx, MathCAD продолжает сплайн последней из составляющих его кубических парабол.

Для получения наилучших результатов значение x должно находиться между самым большим и самым маленьким значениями в векторе vx – маловероятно, что будут полезны значения, вычисленные для x вне этого диапазона. Сплайны предназначены для интерполяции, а не экстраполяции.

В результате интерполяции получаем аналитическую функцию y(t), моделирующую исходный временной ряд.

4.1.2Дискретизация графика получившейся функции с заданным шагом по времени.

Дискретизация выполняется путём вычисления значений полученной на первом этапе аналитической функции для значений аргумента, соответствующих заданному временному шагу. Для получения корректных результатов должно выполняться условие (4.3):

где tm — шаг дискретизации, принимаемый при моделировании; tmax — наибольший временной шаг исходного ряда.

Дискретизация в программе MathCAD может быть реализована с использованием операторов организации циклов for или if.

4.1.3Продление получившегося временного ряда для ослабления краевых эффектов при декомпозиции.

Сигнал должен быть продлен на начальном и конечном участках на некоторые интервалы для задания начальных и конечных условий преобразования и устранения ошибок преобразования на концевых интервалах обрабатываемого массива данных. Величина интервала продления определяется по формуле

(4.4):

где nпр — количество дополнительных точек по краям дискретного временного ряда. Обычно для получения корректного результата это число принимают в интервале nпр = 10...30.

19

Значения функции, добавляемые на дополнительных интервалах, определяются по формулам (4.5) и (4.6) для начального и конечного условий соответственно.

где j ϵ [1; nпр] — номера дополнительных точек (целые числа в интервале от 1 до nпр);

tmax, tmin — значения времени, соответствующие началу и концу исходного временного ряда.

В результате выполнения указанных операций получаем дискретный сигнал, представленный в виде массива (4.7).

где t1 — начальный момент времени;

k — порядковый номер точки смоделированного массива;

tk — момент времени, соответствующий k-й точке смоделированного сигнала, определяемый по формуле (4.8);

у(tk) — значение функции, соответствующее k-й точке смоделированного сигнала, определяемое по формуле (4.2).

4.2Разложение подготовленного временного ряда на эмпирические моды

Входе реализации данного этапа работы обучающийся последовательно решает следующие задачи:

1.Разработка и программная реализация алгоритмов поиска и фиксации максимумов и минимумов смоделированного на первом этапе временного ряда;

2.Разработка и программная реализация алгоритмов эмпирической модовой декомпозиции;

20