Основы программного моделирования. Практикум. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

å( yiвыч -

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2026

Размер:

430 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Рис. 2 3. Показательный закон.

СВ η называется показательно распределенной с параметром λ > 0, если ее плотность имеет вид (рис. 3).

ì 0,	x < 0
fη(x) = í	−λx , x ³ 0,
îλe	−λx , x ³ 0,	1		1
где λ > 0 некоторое число. M [η]=		1	, D[η]=	1	.
где λ > 0 некоторое число. M [η]=		λ	, D[η]=		.
		λ		λ2

Рис. 3

Предварительная обработка данных – действия, выпол-

няемые с результатами эксперимента перед построением модели. Назначение предварительной обработки - изучение вероятностных свойств объекта, проверка возможности построения ста-

тистической модели.

Предварительная статистическая обработка позволяет изучить свойства усл (х) и проверить указанное допущение.

Алгоритм выполнения работы

Последовательность действий при предварительной обработке:

1)статистический контроль качества полученных результатов эксперимента (выборки);

2)вычисление основных статистических оценок;

3)определение характера объекта (стохастический или детерминированный);

4)проверка допущения о нормальности распределения

усл (х) ; 5) выводы о возможности построения модели.

Рассмотрим этапы более подробно.

1) Качество экспериментальных данных более всего ухудшают грубые ошибки эксперимента – аномальные наблюдения, которые не отражают закономерностей изучаемого явления и должны быть обнаружены и исключены. Для их обнаружения используют критерий Грабса.

Пусть у1, у2,…, уN – результаты наблюдений.

уj – результат, подозрительный на аномальность (резко выделяющийся). Его исключают из выборки, а по остальным наблюдениям вычисляют статистические оценки:

оц(my)= y = N1−1 ( y1 + y2 + L+ y j-1 + y j+1 L+ yN ) ;

	1	N
оц(Dy)= S 2 =		å( yi −		)2 .
			y
			y
	N − 2 i=1
		i¹ j
					y j −
После этого проверяется условие:					y j −	y	> 3.

					S
					S

Если условие выполняется, то yj – аномально и его надо исключить.

Если условие не выполняется, то yj – не аномально и его надо вернуть в выборку, а оценки пересчитать с учетом yj.

							å( yi −		)2
				1	åyi ; S 2 =			y
2)			=				i			.
		y
				N			N −1
						i
3)	Объект					считается	детерминированным, если степень

влияния случайных помех невелика. В противном случае он считается стохастическим. Это можно оценить по коэффициенту вариации:

V =	S	2	.
V =			.
	y

Если V < δ (максимальная погрешность модели), то объект можно считать детерминированным. В пищевой отрасли обычно

δ = 5 – 10 %.

Если δ ≤ V ≤ 0,3, то объект стохастический, но доля детерминированной составляющей достаточно велика, можно построить модель.

Если V > 0,3, то объект чисто стохастический, его поведение непредсказуемо и модель построить нельзя.

Замечание. Для вычисления коэффициента вариации и оценки степени стохастичности объекта входные параметры должны быть постоянны (одинаковы) во всех опытах, тогда оценивается влияние только случайных помех. Обычно входные па-

раметры фиксируют посредине рабочего интервала.
	4) Для проверки нормальности распределения усл необхо-
димо	интервал экспериментальных значений		уi	(интервал
[ymin,	ymax]) разбить на d частей,	d=1+3.32∙lg(N),	и	вычислить
nэкспj	- число попаданий результатов наблюдений в j-ю часть ин-
тервала, так же вычисляется nтеорj		- теоретическое число попада-

ний в j-ю часть интервала, которое должно получиться, если результаты наблюдений действительно распределены нормально. Потом вычисляются значения критерия Пирсона.

j+1

1 æ

y-m ö2

nтеорj = NPj , Pj = ò

× e

2è

s ø dy, s » S 2 , m » y ,

× s

y j

å (n теорj

- n экспj )2

j=1

выч

å n теорj

j =1

Если c2выч < c2табл (a = 0,05; n) , то считаем что нормальность подтверждается: ν = d-3 – параметр критерия Пирсона.

Если

cвыч2 > c2табл (a = 0,05; n) , то

совпадение

плохое, рас-

пределение ненормальное.

Обычно при экспериментальных исследованиях закона рас-

пределения строят гистограмму – изображение nэкспj

на графике.

Пример расчета

yi = {1.09; 0.3; 0.66; 1.38; 0.34; 0.83; 1.14; 0.97; 0.79; 1.11};

N = 10; d = 1+3.32lg(10) ≈ 4.

h =

ymax - ymin

1.38 - 0.3

= 0.27 .

Интервал

[0.3; 0.57)

[0.57; 0.84)

[0.84; 1.11)

[1.11; 1.38]

nэкспj

Точка y = 1.11 совпала с граничной точкой, в этом случае ее можно отнести к любому интервалу, но только к одному (рис. 4).

Затем строится гистограмма.

Рис. 4

По ее виду можно догадаться о законе распределения случайной величины (нормальный, равномерный, показательный) (рис. 5).

Рис. 5

Если нормальность подтверждается и V < 0.3, то модель можно построить.

Решение в MathCAD:

æ 1.09ö

ç ÷

ç 0.3 ÷ ç 0.66÷

çç 1.38÷÷

Y := ç 0.34÷ ç 0.83÷

çç 1.14÷÷

ç 0.97÷

çç 0.79÷÷ è 1.11ø

y1	:= min(Y);	y1	= 0.3 ;
y2	:= max(Y);	y2	= 1.38 .

d := round (1 + 3.32×log(10));

d = 4
h :=	(y2 − y1)	i := 0.. d
h :=	d	i := 0.. d
	d

inti := h×i + y1

æ 0.3 ö

ç ÷

ç 0.57÷ int = ç 0.84÷

çç 1.11÷÷ è 1.38ø

p := hist(int,Y)

æ 2 ö

p = ç 3 ÷

ç 2 ÷

ç ÷

è 3 ø

В результате работы программирования (рис. 6).

								Рис. 6
j := 0.. 3						i := 0 .. 9 N := 10
ys	:=		1		×çæåYi÷ö ys = 0.861
			N
	è					i	ø
	å(Yi - ys )2
S :=	i							S = 0.123
				N -			1


V :=		S					V = 0.407
	ys

s := S							m := ys

P1 :=

for

j Î 0.. 3

óintj+1

2ù

-1

æ y - m ö

¬ ô

×exp

2p×s

è s ø

õintj

− 3

8.945´ 10

P1 = ç

0.423

0.546

0.021

0.089ö

(N×P1 )

n1 = ç

4.232÷

5.465÷

(n1

- p )2 ù

è 0.214ø

c :=

n1j

c = 58.298

Задание. Исходные данные в прил. 6.

1.Выявить аномальный результат в экспериментальных данных.

2.Вычислить статистические оценки.

3.Определить характер объекта по коэффициенту вариации.

4.Проверить нормальность распределения случайной величины.

5.Решить задачу с помощью MathCAD, построить график.

6.Записать вывод.

Практическая работа № 6 Параметрический синтез и статистический анализ

Цель работы: освоить методы построения статистических моделей на основе регрессионного анализа.

Теоретические сведения

Параметрический синтез – это определение коэффициентов модели. Одним из методов, используемых для этого, является метод наименьших квадратов (МНК).

Статистический анализ полученной модели - это оценка качества модели и принятие решения о ее пригодности.

Статистический анализ модели включает в себя следующие этапы:

1. Вычисление остаточной дисперсии

	1	N
Sост2 =		å( yiвыч − yiэксп )2 ,
	N − k
		i=1

где k – число коэффициентов модели. 2.Вычисление коэффициентов детерминации.


			N
			å( yiвыч −		)2
	Qрегр			y
R2 =		=	i=1				1.
	Qобщ		N
			å( yiэксп −			)2
				y

i=1

Коэффициент детерминации показывает, какую долю общей суммы квадратов можно объяснить неслучайными причинами.

3.Проверка эффективности модели

Kэф =	F эф
	выч	>1,

	Fтабл

S 2

где Fвычэф = Sрег2 - вычисленное значение критерия Фишера;

ост

Fтабл (a,nч ,nзн ) ,

где α = 0,05 – уровень значимости; νч = k - 1 – число степеней свободы числителя для Sрег2 ; νзн = N – k – число степеней свобо-

ды для знаменателя Sост2 .

Кэф позволяет оценить, насколько влияние контролируемых параметров сильнее влияния случайных помех.

4.Оценка значимости коэффициентов модели.

Проверку проводят с помощью 3-го критерия Стьюдента:

выч		bi
Tз i	=		,

		Sост2 ×Сii
		Sост2 ×Сii
где Сii – диагональный элемент обратной матрицы (FT F)−1 .
Определяется табличное	значение		критерия Стьюдента

Ттабл (α/2, ν), где α/2 = 0,025; n = N – k - число степеней свободы для знаменателя Sост2 .

Если | Tз вычi | > Ттабл (α/2, ν), то i-й коэффициент значимый.

Если коэффициент незначимый, то его необходимо исключить из модели и пересчитать все заново.

Значимость коэффициентов оценивает влияние отдельных входных параметров или каких-то их сочетаний.

Алгоритм выполнения работы

Пусть есть данные эксперта:

x- вектор входных параметров;

y- вектор выходных параметров.

Рассмотрим модель объекта, линейную относительно коэффициентов bi:

)	(x) + b2ϕ2	(x) + L+ bkϕk (x) .	(1)
y = b1ϕ1

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]