Задача № 1

Имеются следующие данные о динамике прожиточного минимума в регионах (процентов):

Таблица 1.1

Месяц	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
	Регион	Регион	Регион	Регион	Регион
Январь	12,59	14,85	12,72	21,07	25,86
Февраль	12,59	15,24	13,65	21,08	25,87
Март	12,59	15,25	13,88	21,26	26,02
Апрель	13,30	15,50	14,18	21,59	26,73
Май	13,65	16,26	14,51	22,33	26,95
Июнь	14,20	16,26	15,05	23,25	27,79
Мюль	14,62	17,49	15,34	23,83	28,08
Август	14,84	17,98	16,24	24,85	29,52
Сентябрь	15,24	18,43	16,24	25,07	29,80
Октябрь	15,52	18,83	16,24	25,07	29,80
Ноябрь	15,64	19,17	16,24	25,53	29,93
Декабрь	16,00	19,35	16,41	25,92	30,85

Для построения прогноза динамики прожиточного минимума в регионе выполнить следующие процедуры прогнозирования:

1. Проверить гипотезу о наличии тенденции (тренда) в динамике прожиточного минимума.

2. Оценить параметры уравнений линейного и гиперболического трендов.

3. Обосновать вид прогностической функции тренда.

4. Сделать прогнозные расчеты динамики прожиточного минимума в регионе с временем упреждения 4 месяца по месяцам.

5. Определить доверительный интервал прогноза.

Порядок решения

1. Для выявления наличия тенденции в динамическом ряду необходимо использовать метод сравнения средних уровней. Для этого динамический ряд разбивается на две примерно равные по числу членов части. По каждой части находятся.

1.1. Средние значения - и .

1.2. Исправленные дисперсии.

где

у_t – уровень динамического ряда;

t – индекс уровня динамического ряда;

n – число членов динамического ряда;

n₁ – число членов I части ряда;

n₂ – число членов II части ряда.

Вначале проверяется гипотеза о равенстве дисперсий этих совокупностей на основе F - критерия Фишера-Снедекора.

Для этого нужно определить расчетное значение этого критерия.

и сравнить его с табличным критическим при заданном уровне значимости  и k₁ и k₂ степенями свободы –

F_кр. (, k₁, k₂), k₁ = n₁-1, k₂ = n₂-1

В данном случае n₁ - это число членов той части ряда, которому соответствует большая дисперсия n₂ - это число членов в той части, которой соответствует меньшая дисперсия

F_кр. (0,01; 5; 5)=10,97 F_кр. (0,05; 5; 5)=5,05

Если F_расч. > F_кр., то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается и проверить гипотезу о наличии тренда в динамическом ряду методом сравнений средних уровней нельзя.

Если F_расч. < F_кр., то расхождение между и несущественно (случайно).

В этом случае проверяется основная гипотеза о равенстве двух частей динамического ряда на основе t; - критерия Стьюдента. Находим расчетное значение t - критерия по формуле:

где

Расчетное значение t - критерия сравнивается с табличным критическим его значением при уровне значимости  и степенями свободы k = n₁ + n₂ -2; (t, k)

t (0,1; 10) = 1,81 t (0,05; 10) = 2,23

t (0,01; 10) = 3,17

Если t_расч. < t_кр., то делается вывод, что расхождение между и незначимо (случайно), т.е. тенденция тренд отсутствует, если t_расч. > t_кр., то расхождение между средними существенно, тенденция (тренд) существует.

2. Уравнение линейного тренда имеет вид гиперболического = а + в/t, где - выравненное значение динамического ряда.

а и b - параметры, оцениваемые статистически на основе эмпирических данных динамического ряда. Эта задача решается методом наименьших квадратов. Для линейного тренда:

Расчеты параметров гиперболического тренда проводятся по аналогичным формулам. Только в расчет вместо значений t и t² принимаются обратные значения и .

Расчеты проводятся в следующих таблицах:

Для линейной функции

Таблица 1.2

T	yt	t2	ty
						

Для гиперболической функции (шапка таблицы):

Таблица 1.3

Итоги по этим таблицам дают необходимые данные для определения F_расч и t_расч., параметров трендов, выравненных значений темпов прироста прожиточного минимума, а также для последующих расчетов.

3. Для оценки пригодности функции для описания тренда исчисляется расчетное значение F - критерия по формуле:

где - дисперсия, характеризующая вариацию признака вследствие тенденции.

Рассчитывается по формуле:

где - среднее значение показателя

- дисперсия случайной вариации рассчитывается по формуле:

р - число параметров в уравнении тренда, (р = 2).

Полученную величину необходимо сравнить с табличным критическим значением F - критерия при заданном уровне значимости ..... и степенях свободы большей дисперсии

К = р - 1, и меньшей дисперсий К = n - р, т.е.F (…; k₁, k₂).

Если выполняется неравенство F_расч. > F_кр., то уравнение подходит для описания тенденции.

F_крит. (0,01; 1; 10) = 9,85

F_крит. (0,05; 1; 10) = 4,84

Для выбора вида прогностической функции рассчитывается среднеквадратическое отклонение:

4. Для прогнозирования методом экстраполяции тренда найденные статистические закономерности, описывающие тенденцию, распространяются на будущий период. Для этого в найденную аналитическую форму уравнения тренда подставляют интересующие нас даты во времени упреждения прогноза (L) и полученные значения принимают за точный прогноз на период равный L.

В качестве уровня базы экстраполяции принимаются последний n - ый член выровненного по модели тренда исходного динамического ряда. Например, при прогнозе на один месяц (L=1) модели линейного тренда значение прогнозного показателя будет равно

5. Доверительный интервал прогноза в общем виде записывается так

где у_n+L – точный прогноз показателя на время упреждения L

- граница доверительного интервала

- табличное значение t – критерия Стьюдента при уровне значимости  и степенях свободы n-p (значения t,  приведены выше).

- ошибка прогноза на время упреждения L

В свою очередь ошибка прогноза определяется по формуле:

где - среднее квадратичное отклонение расчетных значений от фактического,

K_L – множитель, рассчитанный по формуле (для модели тренда с двумя параметрами)

Результаты расчетов представлены в следующей таблице.

Таблица 1.4

Прогноз динамики прожиточного минимума в регионе

Время упреждения	KL	Ошибка прогноза (SpL)	Граница доверительного интервала	Прогноз
				Нижняя граница	Среднее значение	Верхняя граница
1
2
3
4