Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский технический университет связи и информатики» (МТУСИ)

Кафедра: Информатика

Дисциплина: Численные методы

Лабораторная работа №4

«Численное интегрирование»

Выполнил:

студент группы БИК2207

Москва 2024

Содержание

Y

1.Постановка задачи 3

2.Вычисление интегралов с шагом и /2 (I_ho и I_ho/2) и оценка его погрешности по правилу Рунге. 4

Метод трапеций 5

Метод Симпсона 5

3.Программа вычисления интеграла по 2-му заданному методу с точностью 10^-4 6

4.Выводы 7

1.Постановка задачи

Вариант 16

№	Подынтегральная функция	a	b	t	m
16	f(x) = 4 sin (x) – x1/2	1	2	2	3	0.25

1. Выбрать индивидуальное задание из табл.3-1 для численного интегрирования:

0. f(x) – подынтегральную функцию;

1. a, b– пределы интегрирования;

2. методы интегрирования для выполнения п.2 – значение в столбце t и m;

3. начальный шаг интегрирования h_0.

При этом значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом Симпсона.

1. В сценарии пакета Scilab создать функцию для вычисления интеграла по 1-му заданному методу, определяя значения (столбец m)из табл. 3-1, с шагом и ( и ).

2. Провести оценку погрешностей полученных результатов по правилу Рунге.

3. Провести оценку погрешностей полученных результатов по правилу Рунге.

4. Написать и выполнить программу вычисляется интеграла по 2-му заданному методу (столбец t из табл. 3-1) с точностью 10^-4.

5. Вычислить заданный интеграл с использованием функции intg пакета Scilab.

2.Вычисление интегралов с шагом и /2 (I_ho и I_ho/2) и оценка его погрешности по правилу Рунге.

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путём двойного просчёта интеграла с шагами h/2 и h, при этом погрешность вычисляется по формуле .

Полагают, что интеграл вычислен с точностью Е, если тогда , где – уточненное значение интеграла, p – порядок метода.

Вычислим интеграл по формуле средних прямоугольников и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта:

Расчёт в Mathcad

Метод трапеций

Вычислим интеграл по формуле трапеций и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта

Расчёт в Mathcad

Метод Симпсона

Вычислим интеграл по формуле Симпсона и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчёта:

Расчёт в Mathcad

3.Программа вычисления интеграла по 2-му заданному методу с точностью 10^-4

import math

def f(x):

    f = 4*math.sin(x) - x**0.5

    return f

E = 0.0001

a = 1

b = 2

n = 2

h1 = (b - a) / n

h2 = h1 / 2

S1 = (h1 / 3) * (f(a) + f(b) + 4 * f((a + b)/2))

S = (h2 / 3) * (f(a) + f(b) + 4 * f((a + b)/2) + 2 * (f(a + ((a + b) / 2)/2) + f(b + ((a + b) / 2)/2)))

while abs(S - S1) / 15 > E:

    n = 2 * n

    h1 = (b - a) / n

    S1 = S

    c = 4

    x = a

    S = f(a) + f(b)

    for i in range(n-1):

        x = x + h1

        S = S + c * f(x)

        c = 6 - c

    S = S * h1/3

    print(h1, n, S1, S)

print(f'Заданная точность: {E}, Значение интеграла по методу двойного просчёта:{S + (abs(S - S1) / 15)}, Кол-во '

      f'интервалов разбиения: {n}, Конечный шаг интегрирования: {h1}, погрешность: {(abs(S - S1) / 15)}')

Результат работы кода:

Заданная точность: 0.0001, Значение интеграла по методу двойного просчёта: 2.606856382791438, Кол-во интервалов разбиения: 8, Конечный шаг интегрирования: 0.125, погрешность: 5.6197812906333414e-06

4.Выводы

В процессе выполнения лабораторной работы были получены численные интегрирование функции f(x) = 4sin(x) –x^{1 /2} в пределах от 1 до 2 методом средних квадратов, методом трапеций и методом Симпсона.

Результаты ручного расчёта в пакете Mathcad и программным кодом совпадают с результатами расчёта программой и друг с другом в рамках погрешности.

	I	R
Ручной расчёт
Программа	2.606856382791438

16.2 погрешность