Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский технический университет связи и информатики» (МТУСИ)

Кафедра: Информатика

Дисциплина: Численные методы

Лабораторная работа №5

«Методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений»

Выполнил:

студент группы БИК2207

Москва 2024

Содержание

Y

1.Постановка задачи 3

2. Точное аналитическое решение 4

3.Значения точного решения ОДУ 4

4.Численные значения ОДУ методом Эйлера 5

5. Значения погрешностей метода Эйлера 5

6. Численные значения ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка с точностью 10^-4 6

7.Значения погрешностей метода Рунге-Кутта 4-го порядка с точностью 10^-4 8

8.Решение дифференциального уравнения y^s(x) использованием функции математического пакета. 9

9.Иллюстрированные решения в одной системе координат 10

10.Выводы 10

1.Постановка задачи

Вариант 16

№	Уравнение				a	b
16		0	-4	0.2	0	0.6

1. Выбрать индивидуальное задание в табл. 4-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

1. дифференциальное уравнение ;

2. интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;

3. начальные условия x₀, y₀;

4. шаг интегрирования h_0.

2. Найти аналитическое решение заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.

3. Создать в сценарии функцию для вычисления значений полученного решения на отрезке [a;b] с шагом h₀.

4. Создать в сценарии функцию для вычисления значений численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера - в точках отрезка [a;b] с шагом h₀

5. Вычислить значения погрешностей для , ,.

6. Написать и выполнить программу, реализующую программу решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка y^рк(х) в точках отрезка [a;b] с шагом h₀, обеспечив с использованием метода автоматического выбора шага, точность 10^-4.

7. Вычислить значения погрешностей для , .

8. Найти решение дифференциального уравнения y^s(x)использованием функции пакета Scilab ode.

9. Проиллюстрировать решения в одной системе координат.

2. Точное аналитическое решение

Задача Коши:

x_{0 = 0}

y_{0 = -4}

Точное аналитическое решение:

3.Значения точного решения ОДУ

Вычислим в Mathcad значения полученного решения y(x_i) на отрезке [0;0.6] с шагом изменения аргумента h=0.2:

xi	y(xi)
0	-1
0.2	-3.876
0.4	-3.185
0.6	-2.146

4.Численные значения ОДУ методом Эйлера

Вычислим в Mathcad значения численного решение ОДУ методом Эйлера ( ) в точках отрезка [0;0.6] с шагом h=0.2:

xi
0	-4
0.2	-4
0.4	-3.616
0.6	-2.3608

5. Значения погрешностей метода Эйлера

Вычислим в Mathcad значения погрешностей для

:

xi	Ei
0	0
0.2	0.12403
0.4	0.43129
0.6	0.21483

6. Численные значения ОДУ методом Рунге-Кутта 4-го порядка с точностью 10^-4

Вычислим в программе значения численного решения ОДУ с точностью 10^-4 , и получим решение в точках отрезка [0;0.6]с шагом h=0.2 методом Рунге-Кутта 4-го порядка:

import math

def f(x, y):

return(3*x**2*y**2)

def r(x0, y0, h, m):

for j in range(1, m+1):

k1 = f(x0, y0)

k2 = f(x0 + h / 2, y0 + h * k1 / 2)

k3 = f(x0 + h / 2, y0 + h * k2 / 2)

k4 = f(x0 + h, y0 + h * k3)

y0 = y0 + (h / 6) * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)

x0 = x0 + h

return y0

def resh(x0, y0, h0, b, E):

n = int((b - x0) / h0 + 1)

for i in range(1, n+1):

h = h0

m = 1

y = r(x0, y0, h, m)

while True:

y1 = y

h = h / 2

x = x0

y = y0

m = 2 * m

y = r(x0, y0, h, m)

if abs(y - y1) <= E:

break

x0 = x0 + h0

y0 = y

print(f"x0 = {x0:.8f}; y0 = {y0:.8f}; h = {h:.8f}; m = {m}")

def main():

while True:

x0 = float(input("Введите значение x0:\n"))

y0 = float(input("Введите значение y0:\n"))

h0 = float(input("Введите шаг h0:\n"))

b = float(input("Введите конец отрезка b:\n"))

E = float(input("Введите погрешность E:\n"))

resh(x0, y0, h0, b, E)

choice = input("Для повторения нажмите '1'\n")

if choice != '1':

break

if __name__ == "__main__":

main()

Результат работы кода:

xi
0	-4
0.2	-3.87596859
0.4	-3.18471071
0.6	-2.14592464

Оптимальный шаг: h = 0.2

7.Значения погрешностей метода Рунге-Кутта 4-го порядка с точностью 10^-4

Вычислим значения погрешностей , i = 0, 1, …, n:

xi
0	0
0.2	0.00024301975645668605
0.4	0.0012960283218674817
0.6	0.00106971378333931

8.Решение дифференциального уравнения y^s(x) использованием функции математического пакета.

xi	ys(x)
0	-4
0.2	-3.875727
0.4	-3.183414
0.6	-2.14485

9.Иллюстрированные решения в одной системе координат

10.Выводы

В процессе выполнения лабораторной работы были получены численные значения ОДУ методами Эйлера и Рунге-Кутта 4 степени. Значения методов сошлись со значениями машинного расчёта, с друг с другом и с точным аналитическим решением в пределах погрешности.

xi	Точное аналитическое значение	Машинный расчёт	Метод Эйлера	Метод Рунге-Кутта 4 степени
0	-4	-4	-4	-4
0.2	-3.87597	- 3.875727	-4	-3.87596859
0.4	- 3.18471	- 3.183414	-3.616	-3.18471071
0.6	- 2.14592	-2.14485	-2.3608	-2.14592464

По результатам видно, что с повышением степени метода повышается точность.