10. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме (для однородной,
0 
нейтральной, непроводящей среды)
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
0
Применим уравнение к бесконечно малому нейтральному объему в виде параллелепипеда объёмом dV = dx dy dz
z |
|
n |
|
|
|
Поток через верхнюю и нижнюю |
||||
|
|
|
|
|
|
|
грань: |
|
|
|
|
|
А |
|
|
В точке |
А E Exi E y j Ezk |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E n) dx dy |
||
k |
j |
n |
y |
|
(Exi |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ey j Ezk) n dx dy |
|||||
i |
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
k n Ezdxdy Ezdxdy |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
(Ez |
E |
z dz)dxdy (Ez |
E |
z dz)dxdy |
|
|
|
k |
n |
z |
z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полный поток:
|
d ( |
Ex |
|
Ey |
|
Ez |
|
|
|
dxdydz 0 |
|
|
x |
y |
z |
)dxdydz di E |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di E 0
di H 0
Первое и второе уравнения Максвелла в дифференциальной форме
z |
4 |
3 |
1 
2
k 
j 
n y
i
x
( ) :1 2 3 4
dS dy dz
z |
4 |
3 |
1
2
k |
j |
n |
y |
i
x |
В точке 1 
E Exi E y j Ezk
1 2 El Ey |
|
|
|
|
dl dy |
2 3 El Ez |
Ez |
dy |
dl dz |
||
|
|||||
|
|
y |
|
||
3 4 El Ey |
|
Ey |
dz dl dy |
||
|
|
|
|||
|
|
z |
|
||
4 1 El Ez |
|
|
|
|
dl dz |
Eydy (Ez |
Ez |
dy)dz (Ey |
|
Ey |
dz)dy Ezdz ( |
E |
z |
|
Ey |
)dydz |
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||
|
0 |
Hx dydz |
|
|
|
|
Ez |
|
|
Ey |
0 |
Hx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y |
|
z |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства среды не зависят от выбора направления осей
|
|
E |
z |
|
Ey |
|
0 |
H |
x |
|
|
|
|
|
z |
t |
|
||||
|
|
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
Ez |
|
|
H y |
|
|
|
|
0 t |
|
||||
|
z |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey |
|
E |
x |
|
H |
z |
|
|
|
|
x |
|
0 t |
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поворот осей : |
|
x |
(циклическая перестановка) |
z |
y |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
||
|
|
rot E 0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j
|
|
|
E |
|
k |
|
rot H 0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме (для однородной, нейтральной, непроводящей среды)
|
|
H |
1. rot E |
0 t |
|
|
|
E |
2. rot H |
0 |
t |
3. di E 0
4. di H 0
|
|
|
|
H |
11. Свойства электромагнитных волн |
|
|
||||
1. rot E |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. rot H |
0 |
E |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. di E 0 |
t |
rot rot A grad di A A |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. di H 0 |
|
|
|
|
|
H ) |
|
|
|
2 |
E |
|
|
|
|
|
|
rotH |
|
||||
|
|
|
|
rot rot E rot( |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 t |
0 t |
0 |
|
0 t2 |
|
grad di E E 0 E
|
|
|
2 E |
|
|
E 0 |
0 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 H |
|
|
H 0 |
0 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим плоскую бегущую электромагнитную волну 
z |
Во всех точках В.П. E и H |
одинаковы; все |
|
и |
|
равны 0. |
|
В.П. |
y |
z |
|||||
|
|
|
|
v |
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
rot E |
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ez |
|
Ey |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ez |
|
Ey |
|
|
Ex |
|
Ez |
|
|
Ey |
|
|
|
Ex |
|
|||||
rotE |
( |
|
|
|
)i ( |
|
|
|
) j |
( |
|
|
|
|
)k |
|
j |
|
k |
|||
y |
z |
z |
x |
x |
|
y |
x |
x |
||||||||||||||
Ox: 1.1 0 Hx 0
t
Oy: 1.2 0 H y Ezt x
Oz: 1.3 0 Hz Eyt x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. di E 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. rot E 0 H |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. rot H |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
E y |
|
Ez |
|
|
|
|
|
3. di E 0 |
t |
|
|
|
Ex |
|
|
|
|
|
|
Ex |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
divE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4. di H 0 |
|
|
|
||
x |
|
y |
z |
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Ex 0 |
|
||
|
x |
Ex 0 |
||
4. |
H x 0 |
|||
|
x |
|
||
|
|
|
H |
H x 0 |
1.1 0 t x 0 |
||||
2. |
0 |
Ex 0 |
|
|
|
|
t |
|
|
2)
|
z |
Повернем оси OZ и OY относительно оси OX |
||||||
|
|
так, чтобы E |
было направлено |
вдоль oси |
||||
|
|
OY , т.е. Ez 0 . |
|
|
|
|
|
|
E |
0 |
1.2 |
|
0 |
H y |
|
Ez |
0 |
|
|
t |
x |
|||||
x |
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
H y 0 |
|
||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
E |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|