|
|
|
B |
|
|
1. Edl |
dS; |
||||
|
|
|
t |
|
|
2. BdS |
0; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Hdl |
j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
4. DdS |
dV . |
||||
5.D 0 E; |
|
|
|
|
|
6.B |
0 H |
; |
|
|
|
7. j |
E E . |
|
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Материальные уравнения
Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
|
|
|
|
|
DdS |
dV . |
|
DndS dV . |
|
q dV . -сторонний заряд в объеме V
q 
V .
DdS dV 
V .
lim |
DdS |
|
|
divD |
|
V 0 |
V |
|
divD
|
|
|
|
D |
|
|
Dy |
|
|
D |
координатах |
|||||||
divD |
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
дивергенция в декартовых |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
оператор набла в декартовых |
|||
x x |
y y |
z |
z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
координатах |
||||||||||||||
D
Теорема Гаусса для вектора электрического смещения в дифференциальной форме
Аналогично можно получить дифференциальную форму уравнения 4:
B 0 |
Теорема Гаусса для вектора индукции |
магнитного поля в дифференциальной |
|
|
форме |
Рассмотрим уравнение 1- закон электромагнитной индукции:
|
B |
|
Edl |
|
dS |
|
t |
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
l |
|
n |
|
|
|
|
||||||
S |
|
S |
|
||||||
S 0 |
|
S 0 |
|
|
|
||||
|
1 |
Edl |
|
1 |
E dl rotE |
|
|||
скалярная величина, зависит от ориентации контура и ведет себя как проекция вектора . Этот вектор называют ротором. Направление вектора – направление нормали, при котором достигается максимальное значение
S
lim 1 El dl
S 0 S
Формально можно рассматривать: |
rotE |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ex |
|
ey |
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
rotE |
E |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
y |
|
z |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Ex |
|
Ey |
|
Ez |
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
||||||||
Edl |
|
dS El dl |
|
|
n |
dS |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E dl |
Bn dS |
Bn |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bn |
lim |
1 |
El dl |
Bn |
|
rotE |
|
|
|
E |
|
|
||||||||
|
n |
t |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
S 0 S |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
B |
|
||
rotE |
||||||
|
|
|
t |
|
||
|
|
|
B |
|
||
E |
|
t . |
||||
|
|
|||||
Закон Фарадея в дифференциальной форме
Аналогично можно получить дифференциальную форму
уравнения 3: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D dS |
|||
|
|
|
|
|
|
Hdl |
j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
t |
||
rotH |
j |
|
теорема о циркуляции вектора |
||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
напряженности магнитного |
||
|
|
|
|
|
|
|
поля в дифференциальной |
||||
|
|
|
|
D |
|
форме |
|||||
H |
j t . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
B rotE t
divB 0
D rotH j t
divD
|
|
|
|
|
B |
|
|
E |
|
|
t |
|
|||
|
|
|
|
||||
B 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
D |
|||
H |
j t |
||||||
|
|
||||||
D |
|
|
|
||||
5.D 0 E; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6.B 0 H |
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
||
7. j |
E E |
||||||
Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме (для однородной, нейтральной, непроводящей среды)
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
||
|
|
|
|
t 1 |
|
|
||||
|
E |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
3 |
|
|
H |
|
|||||||||
|
|
t |
|
|||||||
B 0 |
2 |
D 0 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
E |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 E |
||
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
|
|
H |
|
0 0 |
t |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
t |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
b c |
b(ac) c(ab) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( E) E( ) E E |
||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
E |
|
1 |
|
H |
||
E 0 |
0 |
|
H 0 |
0 |
|||
|
|
t2 |
|
2 t2 |
|
|
t2 |
Электромагнитное поле может существовать в виде волны, распространяющейся со скоростью, зависящей от электромагнитных свойств среды:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В вакууме: |
1 |
с |
1 |
3 108 м / с |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
0 0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 E |
|
1 2 E |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z2 |
v2 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
плоская волна |
||
E |
z,t E f t |
|
|
E f t |
|
|
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
v |
распространяющаяся вдоль оси z |
||
E z,t E0 cos t kz
|
|
|
|
|
E r ,t E0 cos t kr E |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H r |
,t H |
0 cos t kr H |
||
E r,t E0 cos t kr E |
|
|
|
|
|
H |
r,t H0 cos t kr H |
|
плоская монохроматическая волна, распространяющаяся вдоль оси z
плоская монохроматическая
волна, распространяющаяся в произвольном направлении
сферическая монохроматическая волна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re ei E |
|
|
||||||||||
|
E E0 |
|
Re еi t kr E |
E0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i t |
|
|
|
|
|
i t |
||||||||
|
|
i t kr |
|
|
|
|
e |
kr |
|
|||||||||||||||||
E E0e |
|
|
|
|
E0e |
|
|
|
|
|
|
|
|
E0e |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
ey |
|
ez |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
E |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
|
|
|
Ey |
|
Ez |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kr kx x ky y kz z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E0xei t kr |
ikx |
Ex |
ikx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey E0 y ei t kr iky Ey iky |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ikz Ez ikz |
|
|
||||
Ez E0zei t kr |
|
|
|||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
ey |
|
ez |
|
i k E |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ik |
x |
ik |
y |
ik |
z |
||||||
|
E |
|
Ex |
Ey |
Ez |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 H |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 H0ei t kr i |
|
|
|||||||||||
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
k E 0 H
y
E
v,k
x
E k
H k |
z |