Теория Азартного Игрока

1. Какие условия использования критерия азартного игрока?

Критерий азартного игрока (или максимакса, от англ. maximax) применяется в теории принятия решений в условиях неопределенности, когда человек склонен к максимальному оптимизму и рассчитывает на наилучший возможный исход.

Условия использования критерия максимакса (азартного игрока):

1. Неизвестны вероятности состояний природы. — Нет оснований судить, какое из возможных состояний наступит.

2. Известны выигрыши (или прибыли) по всем альтернативам и возможным состояниям. — Представлены в виде матрицы выигрышей.

3. Лицо, принимающее решение, склонно к риску и оптимизму. — Считает, что сработает наилучший возможный сценарий.

Суть критерия:

Для каждой альтернативы определяется её максимально возможный выигрыш, и затем выбирается альтернатива с наибольшим из этих максимумов:

Максимакс=max⁡i(max⁡jaij)\text{Максимакс} = \max_i \left( \max_j a_{ij} \right)

Где:

• aija_{ij} — выигрыш при ii-й альтернативе и jj-м состоянии природы.

Выбирается та альтернатива, у которой наибольший из возможных выигрышей.

Пример:

Если у альтернатив:

• a1a_1: максимум = 8

• a2a_2: максимум = 7 то азартный игрок выберет a1a_1, потому что "вдруг повезёт".

2. Решить задачу с помощью критерия азартного игрока.

Решим задачу с помощью критерия азартного игрока (максимакса), используя твою матрицу выигрышей:

Обозначим:

• Альтернатива a1=(4,3,8,2)a_1 = (4, 3, 8, 2)

• Альтернатива a2=(3,7,1,3)a_2 = (3, 7, 1, 3)

Шаг 1. Найдём максимальные значения (наилучшие исходы) для каждой альтернативы:

• max⁡(a1)=max⁡(4,3,8,2)=8\max(a_1) = \max(4, 3, 8, 2) = 8

• max⁡(a2)=max⁡(3,7,1,3)=7\max(a_2) = \max(3, 7, 1, 3) = 7

Шаг 2. Выберем наибольший максимум:

• max⁡(8,7)=8\max(8, 7) = 8

Ответ:

По критерию азартного игрока (максимакса) выбираем альтернативу с наивысшим возможным выигрышем:

Выбор: альтернатива a1

3. Какие условия использования критерия произведений?

Критерий произведений (или критерий умножения выигрышей) используется реже, но он также относится к методам принятия решений в условиях неопределенности. Этот критерий ориентирован на максимизацию произведения всех возможных выигрышей по каждой альтернативе.

Условия использования критерия произведений:

1. Неизвестны вероятности состояний природы. — Как и в других критериях для неопределённости, вероятности либо отсутствуют, либо считаются равновероятными.

2. **Рассматриваются только положительные значения выигрышей. — Так как используется произведение, все значения должны быть строго больше нуля (иначе результат будет равен нулю или бессмысленен).

3. ЛПР (лицо, принимающее решение) считает, что выгодно учитывать все исходы одновременно, и ориентируется на сбалансированную устойчивость альтернативы по всем возможным сценариям. — Предпочтение отдаётся той альтернативе, у которой произведение всех её выигрышей наибольшее.

Суть критерия:

Для каждой альтернативы aia_i вычисляется:

P(ai)=∏j=1naijP(a_i) = \prod_{j=1}^{n} a_{ij}

Где:

• aija_{ij} — выигрыш при ii-й альтернативе и jj-м состоянии природы,

• ∏\prod — произведение.

Затем выбирается альтернатива с максимальным произведением.

Важно:

• Если хотя бы один элемент равен нулю, всё произведение станет нулевым.

• Если есть отрицательные значения, критерий может давать парадоксальные или неприменимые результаты, так что он применим только к положительным выигрышам.

Когда использовать:

• Когда выигрыши положительные.

• Когда интересует устойчивая совокупная эффективность по всем исходам, а не только лучший или худший.

4. Решить задачу с помощью критерия произведений.

Решим задачу с помощью критерия произведений, используя твою матрицу выигрышей:

Обозначим:

• Альтернатива a1=(4,3,8,2)a_1 = (4, 3, 8, 2)

• Альтернатива a2=(3,7,1,3)a_2 = (3, 7, 1, 3)

Шаг 1. Вычислим произведение всех значений для каждой альтернативы:

Для a1a_1:

P(a1)=4×3×8×2=192P(a_1) = 4 \times 3 \times 8 \times 2 = 192

Для a2a_2:

P(a2)=3×7×1×3=63P(a_2) = 3 \times 7 \times 1 \times 3 = 63

Шаг 2. Сравниваем произведения:

• P(a1)=192P(a_1) = 192

• P(a2)=63P(a_2) = 63

Ответ:

По критерию произведений выбираем альтернативу с наибольшим произведением выигрышей:

Выбор: альтернатива a1

5. Какие условия использования критерия Севиджа?

Критерий Сэвиджа (или минимакса сожаления) применяется в теории принятия решений в условиях неопределенности, когда человек хочет минимизировать риск сожаления из-за принятия неидеального решения.

Условия использования критерия Сэвиджа:

1. Неизвестны вероятности состояний природы. — Нет данных о вероятностях, и нельзя их достоверно оценить.

2. Дано множество альтернатив и состояний природы, представленных в виде матрицы выигрышей (или потерь).

3. Требуется избежать наибольших возможных сожалений (упущенных выгод) — т.е. выбрать стратегию, при которой максимальное сожаление будет наименьшим.

4. Используется матрица сожалений — она строится на основе исходной матрицы выигрышей.

Суть критерия:

Сожаление (упущенная выгода) — это разница между максимальным выигрышем при данном состоянии природы и выигрышем от выбранной альтернативы.

Шаги:

1. Для каждого столбца (состояния природы) найти максимальное значение.

2. Построить матрицу сожалений:

rij=max⁡j(a⋅j)−aijr_{ij} = \max_j (a_{\cdot j}) - a_{ij}

3. Для каждой альтернативы найти её максимальное сожаление.

4. Выбрать альтернативу с минимальным из этих максимумов.

Решение=min⁡i(max⁡jrij)\text{Решение} = \min_i \left( \max_j r_{ij} \right)

Выбирается альтернатива, которая минимизирует наибольшее сожаление.

Когда использовать критерий Сэвиджа:

• Когда лицо, принимающее решение, боится ошибки или упущенной выгоды.

• Когда важно минимизировать последствия неправильного выбора.