Матричная игра
.docx1.Что такое платежи матричной игры?
В матричной игре, платежи — это числовые значения, расположенные в ячейках матрицы, которые отражают выигрыш одного игрока и одновременно проигрыш другого при определённой комбинации стратегий.
Определение:
Платёж матричной игры — это результат, который получает первый игрок (по строке), когда он и второй игрок (по столбцу) одновременно выбирают свои стратегии. В игре с нулевой суммой:
Первый игрок выигрывает эту сумму,
Второй игрок теряет эту же сумму.
Пример:
|
B1 |
B2 |
B3 |
A1 |
3 |
1 |
5 |
A2 |
2 |
4 |
0 |
Если первый игрок выбирает A1, второй — B2, то платёж равен 1.
Это значит: первый игрок получает 1, а второй теряет 1.
Интерпретация:
Платежи показывают: что ожидает первого игрока в зависимости от стратегии второго.
В антагонистической ситуации игроки стремятся:
Первый — увеличить платёж,
Второй — уменьшить платёж.
Важно:
Все стратегические расчёты в матричных играх (максимин, седловая точка, смешанные стратегии) базируются именно на платежах.
Цель анализа — найти оптимальные стратегии, при которых платеж (результат) будет наиболее выгодным/наименее убыточным для игрока.
2. Что такое матрица платежей?
Матрица платежей — это таблица, в которой перечислены все возможные выигрыши (или потери) одного из игроков в зависимости от выбранных стратегий двух сторон в матричной игре.
Определение:
Матрица платежей — это прямоугольная таблица, где:
строки соответствуют стратегиям первого игрока,
столбцы — стратегиям второго игрока,
ячейки содержат платежи — числовые значения выигрыша первого игрока.
Пример:
Пусть игрок 1 может выбрать A1 или A2, а игрок 2 — B1, B2 или B3. Тогда матрица платежей может выглядеть так:
|
B1 |
B2 |
B3 |
A1 |
5 |
2 |
4 |
A2 |
1 |
3 |
0 |
Если игрок 1 выбрал A1, а игрок 2 — B3, то платёж = 4 (игрок 1 выигрывает 4, игрок 2 — теряет 4 в игре с нулевой суммой).
Что показывает матрица платежей:
Полную информацию о возможных исходах игры.
Взаимосвязь стратегий игроков и результатов.
Основание для выбора оптимальных стратегий (например, по критериям Вальда, Сэвиджа, максимина и др.).
Применение:
Используется для анализа:
Седловых точек,
Доминирующих стратегий,
Смешанных стратегий,
Оптимальных решений в конфликтных ситуациях.
Применяется в:
Экономике,
Военной стратегии,
Менеджменте,
Кибербезопасности,
Поведенческом анализе.
3.Что такое матричная игра с нулевой суммой?
Матричная игра с нулевой суммой — это тип стратегической игры между двумя игроками, в которой выигрыш одного игрока равен по модулю проигрышу другого. То есть сумма выигрышей обоих игроков всегда равна нулю, независимо от выбранных стратегий.
Определение:
Игра с нулевой суммой — это игра, в которой для любой пары стратегий игроков:
\text{Выигрыш первого игрока} + \text{Выигрыш второго игрока} = 0 ]
Или:
v1=−v2v_1 = -v_2
Пример:
|
B1 |
B2 |
A1 |
3 |
-1 |
A2 |
2 |
0 |
Если игрок 1 выбирает A1, игрок 2 — B1, то:
Игрок 1 получает 3,
Игрок 2 теряет 3,
Сумма: 3+(−3)=03 + (-3) = 0.
Особенности:
Интересы игроков полностью противоположны.
Всё, что один выигрывает, другой теряет.
Конфликт чистой конкуренции: выигрывает только один, и только за счёт другого.
Характеристики:
Признак |
Значение |
Количество игроков |
Два |
Сумма выигрышей |
Равна нулю: v1+v2=0v_1 + v_2 = 0 |
Модель |
Антагонистическая |
Представление |
В виде матрицы платежей |
Решение |
С помощью максимин, седловых точек, смешанных стратегий и др. |
Где используется:
Конкурентные рынки (две фирмы борются за долю).
Спорт (победа одного = поражение другого).
Военные игры (один выигрывает операцию, другой — проигрывает).
Кибербезопасность (атака/защита).
Важно:
Не все игры — с нулевой суммой. В кооперативных или неантагонистических играх сумма выигрышей может быть любой (например, обе стороны могут выигрывать или проигрывать одновременно). Но игры с нулевой суммой — это фундаментальный класс задач в теории игр.
4.Что такое матричная игра с ненулевой суммой?
Матричная игра с ненулевой суммой — это такая стратегическая игра, в которой выигрыш одного игрока не обязательно равен проигрышу другого. В отличие от игр с нулевой суммой, здесь общая сумма выигрышей двух игроков может быть любой — положительной, отрицательной или даже переменной в зависимости от стратегий.
Определение:
Матричная игра с ненулевой суммой — это игра между двумя игроками, в которой сумма выигрышей не всегда равна нулю:
v_1 + v_2 \ne 0 ]
Пример:
|
B1 |
B2 |
A1 |
(3, 2) |
(1, 4) |
A2 |
(0, 0) |
(2, 3) |
Здесь каждая ячейка содержит пару значений:
Первое — выигрыш первого игрока,
Второе — выигрыш второго игрока.
Например:
Если выбраны A1 и B1, первый игрок получает 3, второй — 2, а сумма = 5 ≠ 0.
Особенности:
Признак |
Значение |
Количество игроков |
Обычно 2 (можно больше) |
Сумма выигрышей |
Не фиксирована, может быть > 0 или < 0 |
Отношения между игроками |
Могут быть как конфликтными, так и кооперативными |
Выигрыш одного ≠ проигрыш другого |
Возможен обоюдный выигрыш или проигрыш |
В чем суть:
Игроки могут сотрудничать или договариваться.
Результаты могут быть выгодны для обоих (например, «выигрыш-выигрыш»).
Часто используются в:
Экономике (переговоры, бизнес-партнёрства),
Политике (дипломатия),
Социальных науках (обмен, кооперация).
Примеры игр с ненулевой суммой:
Дилемма заключённого: классическая ситуация, где обоюдное сотрудничество выгоднее, но нестабильно.
Ценообразование на рынке, где обе компании могут зарабатывать.
Международные договоры — обе стороны получают выгоду от компромисса.
Сравнение:
Параметр |
Нулевая сумма |
Ненулевая сумма |
Характер |
Антагонистический |
Конфликт + кооперация |
Сумма выигрышей |
Всегда 0 |
Не обязательно 0 |
Тип взаимодействия |
Конфликт |
Конфликт или сотрудничество |
5.Что такое седловая точка?
Седловая точка в матричной игре — это такая ячейка в матрице платежей, которая одновременно является:
максимумом по строке (для первого игрока — ЛПР), и
минимумом по столбцу (для второго игрока — противника).
Определение:
Седловая точка — это элемент матрицы, который является:
наименьшим в своём столбце (лучший для второго игрока),
наибольшим в своей строке (лучший для первого игрока).
Пример:
|
B1 |
B2 |
B3 |
A1 |
3 |
2 |
4 |
A2 |
2 |
1 |
3 |
Рассмотрим ячейку A2-B1, где стоит 2:
В строке A2: 2 — максимум (между 2, 1, 3) — ✔
В столбце B1: 2 — минимум (между 3 и 2) — ✔
Это седловая точка. Решение игры: оба игрока могут использовать стратегии A2 и B1, и это будет оптимально.
Свойства седловой точки:
Характеристика |
Описание |
Стабильность |
Ни один игрок не может улучшить своё положение, изменив стратегию в одностороннем порядке. |
Существует в некоторых играх |
Не каждая игра имеет седловую точку. |
Чистые стратегии |
Если седловая точка есть, игра решается в чистых стратегиях. |
Зачем нужна:
Позволяет однозначно определить оптимальные стратегии для обоих игроков.
Не требует перехода к смешанным стратегиям.
Упрощает анализ игры.
Когда нет седловой точки:
Если не удаётся найти элемент, удовлетворяющий обоим условиям, игра не имеет седловой точки, и тогда:
Решение ищется через смешанные стратегии (с вероятностями),
Или с помощью линейного программирования и других методов.