Описание деловой ситуации

Руководство фирмы предполагает выйти на рынок с двумя продуктами (А и Б). Предварительно проведенные маркетинговые исследования показали, что фирме целесообразно выйти на рынок с Продуктом А по цене, равной 120 руб. за единицу товара, а с Продуктом Б - по цене 360 руб. за единицу. Пусть постоянные затраты на производство Продукта А (амортизация оборудования; оплата управленческого персонала; реклама и т.п.) составляют 105 тыс. руб., а для второго вида продукции они равны 210 тыс. руб. Переменные затраты на производство единицы продукта А (расходные материалы и заработная плата рабочих) составляют примерно 75 руб., а для второго продукта - 195 руб.

Маркетинговые исследования показали, что по уровню платёжеспособного спроса рынок может находиться в трех различных состояниях. Значения спроса на продукцию и вероятности различных состояний рынка представлены в табл. 1.

Таблица 1

Продукция	Состояния рынка
	Уровень спроса (тыс. шт.)
	S1	S2	S3
Продукт А	30	20	40
Продукт Б	30	40	20
Вероятность состояния рынка	0,4	0,3	0,3

Руководство фирмы, исходя из оценок возможных состояний рынка и собственных возможностей, формулирует три альтернативных стратегии (решения) - X₁, X₂, X₃. Каждая стратегия i фирмы характеризуется определёнными значениями t_hi объемов производства продукта h (см. табл. 2). Требуется выбрать оптимальную стратегию фирмы.

Таблица 2

Продукция	Стратегии фирмы
	Объем производства (тыс. шт.)
	X1	X2	X3
Продукт А	t11=5	t12=10	t13=20
Продукт Б	t21=45	t22=40	t23=30

Анализ результатов решения задачи

Для решения задачи строится таблица выигрышей (прибылей) фирмы.

Величина прибыли U_ijh, получаемой фирмой от реализации продукта h при стратегии X_i и состоянии рынка S_j, определяется по формуле:

где FC_h - постоянные издержки на производство продукта h;

AVC_h - средние переменные затраты на производство единицы продукта h;

g_h - цена единицы продукта h;

d_hj - объём платёжеспособного спроса на продукт h при состоянии рынка S_j;

t_hi – объем производства продукта h при стратегии фирмы X_i.

min (t_hi,d_hj) - определяется наименьшая из двух величин: объем производства продукта h при стратегии X_i и объем спроса на продукт h при состоянии рынка S_j. Если объём спроса d_hj меньше величины объема производства t_hi, то в этом случае продукция будет реализована лишь в объёме d_hj. При этом часть произведенной продукции, равная (t_hi - d_hj), не будет реализована.

Общая прибыль U_ij от реализации всех видов продукции при стратегии X_i и состоянии рынка S_j равна:

где r - количество видов продукции, с которыми фирма выходит на рынок.

Для рассматриваемого примера r=2, следовательно, U_ij = U_ij1 + U_ij2.

Результаты расчетов значений прибыли от реализации продукции при различных сочетаниях вариантов стратегии фирмы и состояния рынка:

1) Значение ожидаемой прибыли U₁₁ при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₁ рассчитывается следующим образом: в соответствии с выражением (5) величина прибыли U₁₁₁ от реализации продукта А при стратегии X₁ и состоянии рынка S₁ равна:

U₁₁₁ = 120*min(5*10³, 30*10³) – (105*10³+75*5*10³) = 0,12 млн. руб.

Аналогично определяется величина прибыли от реализации второго продукта при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₁:

U₁₁₂ = 360*min(45*10³, 30*10³) – (210*10³+195*45*10³) = 1,815 млн. руб.

В итоге, прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₁ составит:

U₁₁ = U₁₁₁+U₁₁₂ = 0,12 + 1,815 = 1,935 млн. руб.

2) Расчет значения ожидаемой прибыли U₁₂ при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₂:

U₁₂₁ = 120*min(5*10³, 20*10³) – (105*10³+75*5*10³) = 0,12 млн. руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₁ и состоянии рынка S₂.

U₁₂₂ = 360*min(45*10³, 40*10³) – (210*10³+195*45*10³) = 5,415 млн. руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₂.

U₁₂ = U₁₂₁+U₁₂₂ = 0,12 + 5,415 = 5,535 млн. руб. – Прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₂.

3) Расчет значения ожидаемой прибыли U₁₃ при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₃:

U₁₃₁ = 120*min(5*10³, 40*10³) – (105*10³+75*5*10³) = 0,12 млн. руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₁ и состоянии рынка S₃.

U₁₃₂ = 360*min(45*10³, 20*10³) – (210*10³+195*45*10³) = -1,785 млн. руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₁ и состоянии рынка S₃.

U₁₂ = U₁₃₁+U₁₃₂ = 0,12 – 1,785 = -1,665 млн. руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X1 и состоянии рынка S3.

4) Расчет значения ожидаемой прибыли U21 при стратегии фирмы X2 и состоянии рынка S1:

U₂₁₁ = 120*min(10*10³, 30*10³) – (105*10³+75*10*10³) = 0,345 млн. руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₂ и состоянии рынка S₁.

U₂₁₂ = 360*min(40*10³, 30*10³) – (210*10³+195*40*10³) = 2,790 млн. руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₁.

U₂₁ = U₂₁₁+U₂₁₂ = 0,345 + 2,790 = 3,135 млн. руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₁.

5) Расчет значения ожидаемой прибыли U₂₂ при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₂:

U₂₂₁ = 120*min(10*10³, 20*10³) – (105*10³+75*10*10³) = 0,345 млн. руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₂ и состоянии рынка S₂.

U₂₂₂ = 360*min(40*10³, 40*10³) – (210*10³+195*40*10³) = 6,390 млн. руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₂.

U₂₂ = U₂₂₁+U₂₂₂ = 0,345 + 6,390 = 6,735 млн. руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₂.

6) Расчет значения ожидаемой прибыли U₂₃ при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₃:

U₂₃₁ = 120*min(10*10³, 40*10³) – (105*10³+75*10*10³) = 0,345 млн. руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₂ и состоянии рынка S₃.

U₂₃₂ = 360*min(40*10³, 20*10³) – (210*10³+195*40*10³) = -0,810 млн. руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₃.

U₂₃ = U₂₃₁+U₂₃₂ = 0,345 – 0,810 = -0,465 млн. руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₂ и состоянии рынка S₃.

7) Расчет значения ожидаемой прибыли U₃₁ при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₁:

U₃₁₁ = 120*min(20*10³, 30*10³) – (105*10³+75*20*10³) = 0,795 млн. руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₃ и состоянии рынка S₁.

U₃₁₂ = 360*min(30*10³, 30*10³) – (210*10³+195*30*10³) = 4,740 млн. руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₁.

U₃₁ = U₃₁₁+U₃₁₂ = 0,795 + 4,740 = 5,535 млн. руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₁.

8) Расчет значения ожидаемой прибыли U₃₂ при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₂:

U₃₂₁ = 120*min(20*10³, 20*10³) – (105*10³+75*20*10³) = 0,795 млн. руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₃ и состоянии рынка S₂.

U₃₂₂ = 360*min(30*10³, 40*10³) – (210*10³+195*30*10³) = 4,740 млн. руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₂.

U₃₂ = U₃₂₁+U₃₂₂ = 5,535 млн. руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₂.

9) Расчет значения ожидаемой прибыли U₃₃ при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₃:

U₃₃₁ = 120*min(20*10³, 40*10³) – (105*10³+75*20*10³) = 0,795 млн. руб. - величина прибыли от реализации продукта А при стратегии X₃ и состоянии рынка S₃.

U₃₃₂ = 360*min(30*10³, 20*10³) – (210*10³+195*30*10³) = 1,140 млн. руб. – величина прибыли от реализации продукта Б при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₃.

U₃₃ = U₃₃₁ + U₃₃₂ = 0,795 + 1,140 = 1,935 млн. руб. – прибыль от реализации двух видов продукции при стратегии фирмы X₃ и состоянии рынка S₃.

Результаты всех проведенных расчетов сведены в таблицу выигрышей:

Таблица 3 - Таблица выигрышей

Стратегии фирмы	Прибыль Uij (млн. руб.)
	Состояния рынка
	S1	S2	S3
X1	1,935	3,135	5,535
X2	5,535	6,735	5,535
X3	-1,665	-0,465	1,935
Вероятность состояния рынка	0,4	0,3	0,3

Результаты решения задачи выбора оптимальной стратегии фирмы при использовании различных критериев в зависимости от условий, в которых принимаются управленческие решения, представлены ниже:

Критерий Байеса-Лапласа. Вероятности различных состояний рынка известны. Выбирается стратегия фирмы, при которой среднее ожидаемое значение прибыли максимально (см. формулу (1)).

1,935 * 0,4 + 3,135 * 0,3 + 5,535 * 0,3 = 3,375 млн. руб.

5,535 * 0,4 + 6,735 * 0,3 + 5,535 * 0,3 = 5,895 млн. руб.

-1,665 * 0,4 - 0,465 * 0,3 + 1,935 * 0,3 = -0,225 млн. руб.

При заданном распределении вероятностей p(S_j) наибольшее ожидаемое значение прибыли даст вторая стратегия X₂, следовательно, стратегия X₂ является оптимальной.

Максиминный критерий Вальда. Вероятности различных вариантов спроса на продукцию не известны и требуется выбрать стратегию, которая даёт максимальный выигрыш (прибыль) при различных состояниях рынка. Решающее правило представлено выражением (2). В каждой строке табл. 3 необходимо выбрать элемент с минимальным значением прибыли Uij. Получена последовательность значений {1,935; 5,535; -1,665}. Оптимальной будет стратегия X₂, при которой максимальное из минимальных значений прибыли равно 5,535 млн. руб.

Критерий Сэвиджа-Ниганса. Вероятности состояния рынка неизвестны и требуется в любых условиях максимально избегать риска. Величина риска определяется как изменение прибыли фирмы при данном состоянии рынка относительно наилучшего возможного решения.

По таблице выигрышей для каждого состояния рынка определяется максимальное значение выигрыша (U_j):

Для состояния S₁ – 5,535 млн. руб.

Для состояния S₂ – 6,735 млн. руб.

Для состояния S₃ – 5,535 млн. руб.

Затем определяются потери фирмы (недополученная прибыль) по формуле R_ij = U_j - U_ij.

Результаты расчетов сведены в таблицу рисков (табл. 4).

Таблица 4 - Таблица рисков

Стратегии фирмы	Риск Rij (млн. руб.)
	Состояния рынка
	S1	S2	S3
X1	3,6	3,6	0
X2	0	0	0
X3	7,2	7,2	3,6

В каждой строке таблицы рисков было выбрано максимальное значение риска: {7,2; 7,2; 3,6}. Оптимальной будет та стратегия, для которой риск, максимальный при различных вариантах состояния рынка, окажется минимальным. Следовательно, X₃ - оптимальная стратегия.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Вероятности состояний рынка не известны и требуется найти компромисс между стратегиями поведения перестраховщика и абсолютного оптимиста. В этой ситуации оптимальной будет та стратегия, для которой показатель G_i - критерий пессимизма-оптимизма Гурвица принимает наибольшее значение.

Таблица 5 - Значения критерия Гурвица и оптимальные стратегии

Стратегии фирмы	Значения коэффициента “k”
	0	0,25	0,5	0,75	1
X1	5,535	4,635	3,735	2,835	1,935
X2	6,735	6,435	6,135	5,835	5,535
X3	1,935	1,035	0,135	-0,765	-1,665
Оптимальная стратегия	X2	X2	X2	X2	X2

Критерий недостаточного основания Лапласа. Если считать, что любой из вариантов состояния рынка не более вероятен, чем другие, то вероятности различных вариантов состояния рынка можно принять равными. В соответствии с критерием Лапласа должна выбираться стратегия фирмы, при которой среднее ожидаемое значение прибыли максимально для равных вероятностей p(S₁) = p(S₂) = p(S₃) = 1/3 = 0,333.

1,935*0,333 + 3,135*0,333 + 5,535*0,333 = 3,531465 млн. руб. – средняя ожидаемая прибыль для стратегии X₁.

5,535*0,333 + 6,735*0,333 + 5,535*0,333 = 5,929065 млн. руб. – средняя ожидаемая прибыль для стратегии X₂.

-1,665*0,333 - 0,465*0,333 + 1,935*0,333 = -0,064935 млн. руб. – средняя ожидаемая прибыль для стратегии X₃.

Наибольшее ожидаемое значение прибыли даст вторая стратегия X₂, следовательно, именно она является оптимальной.