Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

40 каф (Барабанов) / БДЗ Задания 6 сем Барабанов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.06.2026

Размер:

381.38 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

ПРОГРАММА Квантовая механика. Часть 2

весенний семестр 2025/2026 уч. года

Программу и задание составил: Барабанов Алексей Леонидович, д.ф.-м.н.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ЧАСТЬ 2

1. Стационарная теория возмущений. Поправки первого и второго

порядков к энергиям невырожденных уровней, к векторам невырожденных состояний. Критерии применимости теории. Теорема Гельмана Фейнмана. Поляризуемость квантовой системы в постоянном и однородном электрическом поле. Стационарное возмущение вырожденных уровней дискретного спектра. Волновые функции нулевого приближения. Секулярное уравнение. Эффект Штарка для атома водорода.

2. Релятивистские квантовые уравнения. Уравнения Клейна Гордо-

на и Дирака. Матрицы Дирака, стандартное представление, биспиноры. Плотность вероятности и плотность тока вероятности в теории Дирака. Состояния свободного движения релятивистской частицы со спином 1/2 с положительными и отрицательными энергиями. Античастицы.

3. Частица в электромагнитном поле. Уравнение Дирака для части-

цы во внешнем электромагнитном поле. Градиентная (калибровочная) инвариантность. Переход к нерелятивистскому описанию. Уравнение Паули. Оператор магнитного момента частицы со спином 1/2. Магнитные моменты элементарных частиц, ядер и атомов. Магнетон Бора,

ядерный магнетон, g-фактор. Движение заряженной частицы в постоянном и однородном магнитном поле. Уровни Ландау.

4. Релятивистские поправки 2-го порядка малости. Уравнение Ди-

рака для частицы в стационарном потенциальном поле. Переход к нерелятивистскому описанию с учетом поправок 2-го порядка по v/c. Ïî-

правка к кинетической энергии, поправка Дарвина к потенциальной энергии, спин-орбитальное взаимодействие.

5. Электромагнитное поле как квантовая система. Описание сво-

бодного классического электромагнитного	поля в конечном объ¼ме

посредством напряженностей (E, H) и потенциалов (φ, A). Калибро-

вочные условия. Граничные условия. Моды электромагнитного поля. Обобщ¼нные координаты, обобщ¼нные импульсы, функция Гамильтона классического поля. Операторы, соответствующие классическим переменным. Гамильтониан свободного электромагнитного поля. Стацио-

нарные квантовые состояния, их энергии. Фотоны ( γ-кванты). Опера-

ˆ	ˆ

òîðû A è H.

Тождественные частицы. Гелиеподобный атом. Перестановка ко-

ординат тождественных частиц в волновой функции сложной (многочастичной) системы как операция симметрии. Бозоны и фермионы. Симметрия волновой функции гелиеподобного атома. Кулоновское отталкивание электронов как возмущение. Спектр гелиеподобного атома, обменное взаимодействие. Парасостояния и ортосостояния атома гелия.

11.

Сложение угловых моментов. Сложение угловых моментов: cостояние частицы или системы частиц с определенным полным угловым моментом. Коэффициенты Клебша Гордана, их свойства, метод вычисления этих коэффициентов. Описание состояний двух частиц со спином 1/2 с определ¼нным полным спином этих частиц.

10.

распад (γ-распад). Плотность конечных состояний поля в простран-

стве энергии. Вероятность излучения в единицу времени, ширина (в пространстве энергии) распадающегося состояния. Электрическое дипольное излучение. Индуцированное излучение. Правила отбора.

8. Законы сохранения и симметрии. Однородность времени и сохранение энергии. Однородность пространства, оператор сдвига состояния квантовой системы, оператор импульса, сохранение полного импульса. Изотропия пространства, оператор поворота состояния квантовой системы, оператор углового момента, сохранение полного углового момента. Орбитальный момент и спин.

9. Квантовая теория углового момента . Коммутационные соотноше-

ния для составляющих векторного оператора углового момента и их следствия. Квантование величины углового момента и его проекции на

îñü z. Фазовые условия Кондона и Шортли. Спиноры. Спин 1/2 и матрицы Паули.

Квантовая теория излучения. Гамильтониан сложной (многоча- стичной) системы в электромагнитном поле. Оператор взаимодействия системы с электромагнитным полем как возмущение. Переход системы из одного стационарного состояния в другое с излучением фотона как

пада в единицу времени, время жизни нестабильного состояния, период полураспада.

случай перехода под действием возмущения с

ω = 0. Вероятность рас-

Нестационарная теория возмущений. Переходы под влиянием воз-

мущения, действующего в течение конечного времени. Адиабатические и внезапные возмущения. Переходы под действием периодического воз-

мущения с частотой ω. Плотность дискретных конечных квантовых со-

стояний в пространстве энергии. Правило Ферми. Соотношение неопределенности для времени и энергии. Радиоактивный распад как частный

12. Вариационные методы. Прямой вариационный метод (метод Ритца). Вариационный принцип. Гамильтониан многоэлектронного атома. Метод Хартри, уравнения Хартри. Определитель Слэтера. Принцип Паули. Метод Хартри Фока, вывод уравнений Хартри Фока из вариационного принципа.

13. Сложный атом. Приближение центрального самосогласованного поля. Термы многоэлектронного атома с определенной энергией и определ¼нным полным угловым моментом. Тонкая структура атомных уровней. Правило интералов Ланде.

14. Атом в магнитном поле. Гамильтониан сложного атома в постоянном магнитном поле. Расщепление атомных уровней и атомных спектральных линий в магнитном поле. Случай слабого поля: нормальный и аномальный эффекты Зеемана. Фактор Ланде. Случай сильного поля: эффект Пашена Бака. Парамагнетизм и диамагнетизм атомов.

Литература

Основная

1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория.

М.: Физматлит, 2002.

2.Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.

3.Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике.

М.: Наука, 1992.

4.Белоусов Ю.М., Бурмистров С.Н., Тернов А.И. Задачи по теоретической физике. Долгопрудный: Издательский Дом ¾Интеллект¿, 2013.

Дополнительная

1.Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

2.Зелевинский В.Г. Квантовая физика. Новосибирск, РИЦ НГУ; Т. 1, 2014; Т. 2, 2015; Т. 3, 2015.

Основные формулы курса

Γ-функция:

Γ(z) =	Z0	∞ xz−1 e−x dx, Γ(z) = (z − 1) Γ(z − 1), Γ(2 ) = √π .
		1

Циклический базис:

e±1 =

ex √±

iey

, e0 = ez, eq eq′ = δqq′ , A = Xq

Aqeq , Aq = Aeq,

r =

rqeq , rq = r eq = rr

Y1q(n), n = r .

ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ

Гамильтониан и энергетический спектр:

ˆ	ˆ 2		Ze	2		ˆ		2	e	2
	p							Z
H =		−			,	H\|nlm = En\|nlm ,	En = −				,
	2me		r					2an2

атомная единица длины: a = 2/mee2, атомная единица энергии: Ea = e2/a

Волновые функции стационарных состояний:

r |nlm ≡ ψnlm(r ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ).

Сферические гармоники для низших моментов:

sin θ e±iφ,

Y00 =

√

, Y10

cos θ, Y1 ±1 =

4π

8π

4π

Y20 = r

θ − 1),

Y2 ±1 = r

16π (3 cos2

8π sin θ cos θ e±iφ,

Y2 ±2

= r

32π sin2 θ e±2iφ.

Радиальные функции для низших состояний:

R10

=2r

e− a , R20 =r

1 − 2a e−

2a, R21 =r

r e−

2a3

24a5

R30

= 3√3r

1 −

23a

+ 27

!e− 3a

2 Z3

√ r

R31 = 4 √2 27 3

1 − 6a

e− 3a

, R32 =

81√15r

r2e− 3a .

2√

СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Случай невырожденного состояния:

ψ(0)

ψ(1)

k|V |n

= n

k=n |

En0 − Ek0

E(0)

= E0,

E(1) =

Vˆ n

E(2)

| k|V

|n |

En0 − Ek0

k=n

Случай вырожденного состояния:

(0)

(1)

(0)

kα|V

|ψnβ

|ψnβ = α

Cβα|nα , |ψnβ = k=n, α |kα

En0 − Ek0

ψnβ(0)′ |Vˆ |ψnβ(0) = Enβ(1)δβ′β,

Cβα Vγα − Enβ(1)δγα = 0,

Enβ(0) = En0,

(1)

det Vγα − Enβ δγα = 0,

Vγα = nγ|V |nα .

Теорема Фейнмана Гельмана:

∂fn(λ)

= n,λ|

∂F (λ)

|n,λ ,

∂λ

ãäå ˆ

F (λ) эрмитовый оператор с дискретным спектром, зависящий от пара-

метра λ, fn(λ) è |n,λ собственные значения и собственные векторы этого оператора.

УРАВНЕНИЯ ДИРАКА И ПАУЛИ

Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле A						i
							= (Φ, A):
	∂Ψ	e
i		= cα pˆ −		A Ψ + βmc2 Ψ + eΦ Ψ,
	∂t		c
	α = σ 0			, β = 0 −I	.
		0 σ		I 0

Релятивистские поправки второго порядка по v/c в центральном поле U(r):

		pˆ4			2(∆U)				2U′ ˆ
ˆ	= −		ˆ				ˆ			ˆ
V1	= −	8m3c2	, V2	=	8m2c2	, V3		=	2m2c2r	(s l ) .

Уравнение Паули для частицы с магнитным моментом ˆ

µ = µσ во внешнем

ïîëå A

= (Φ, A):

∂φ

pˆ −

A 2

−

(

µˆ) φ + eΦ φ.

∂t

КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Гамильтониан свободного электромагнитного поля ( λ = (k, α)):

pˆ

qˆ

ˆ2

+ pˆ

aˆλ+aˆλ +

HˆF =

Hˆλ, Hˆ

+ ω

λ = λ

= ω

ξλ = ω

+ ipˆ

aˆλ, aˆλ+′ = δλλ′ .

[ˆqλ, pˆλ′ ] = i δλλ′ , aˆλ =

λ √

ξλ

Стационарные состояния поля:

Hˆλ\|nλ = Eλ\|nλ , Eλ = ω nλ + 2			, nλ = 0, 1, 2, . . .
		1
ˆ	Y		X
ˆ	\|ΨF =	\|nλ , EF = Eλ.
HF \|ΨF = EF \|ΨF ,	\|ΨF =	\|nλ , EF = Eλ.
	λ		λ

Операторы векторного потенциала, электрического и магнитного полей:

H(r )

(r ) =

V ω

aˆλεαeikr

+ aˆλ εαe−ikr

2π c2

E(r ) =

ikaˆλεαeikr

− ikaˆλ

εαe−ikr

V ω

2π c2

iaˆλ

k × εα

eikr

− iaˆλ

k × εα e−ikr .

V ω

2π c2

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Возмущение, действующее в течение конечного времени:

P (i f) =	12		f Vˆ (t) i e
→		+∞	\|	\|	i	(Ef −Ei)t
→		Z	\|	\|

−∞

dt .

Периодическое возмущение:

ˆ ˆ −iωt ˆ † iωt

V (t) = V e + V e .

Вероятность перехода в единицу времени в непрерывный спектр под действием периодического возмущения (¾правило Ферми¿):

f|Vˆ

ρ(Ef ),

wif = 2

ãäå ρ(Ef ) = dN/dEf плотность

конечных

состояний.

ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМА

Гамильтониан свободного электромагнитного поля:

HˆF =

ω aˆλ† aˆλ + 2 .

Оператор взаимодействия атома и поля:

Vˆ = −

Ajpˆj +

Aj2 + µB

Hjσj

2mc2

= |e| /(2mc) магнетон Бора.

ãäå Aj = A(rj), Hj = H(rj), µB

Дипольное приближение (eikrj 1), дифференциальная вероятность:

	ω3	− \|dif n\|2 dΩ,
dwif (n) = 2π c3 \|dif \|2		− \|dif n\|2 dΩ,
	if

полная вероятность:

4ωif3

−

2, ω

, d

f d

3 c3 | if |

Правила отбора для дипольного (E1) излучения:

∆S	=	0,	∆S	=	0,
∆Sz	=	0,	∆L	= 0, ±1,
∆L	= 0, ±1,		∆J	= 0, ±1,
∆Lz	= 0, ±1,		∆Jz	=	0, ±1,

πf = −πi.

УГЛОВОЙ МОМЕНТ Активное преобразование поворота вектора состояния (система координат 2

получена из системы координат 1 поворотом на угол φ вокруг единичного вектора n0):

		ˆ
			,
\|ψ; 2 = Rˆ(φ )\|ψ; 1 , Rˆ(φ ) = e−iJφ/ , φ = φ n0			,
ˆ	ˆ	ˆ

ãäå J оператор углового момента. Если	J = L, то в координатном пред-

ставлении:

ˆ	ˆ	ˆ

r \|L \|Ψ = L r		\|Ψ , L = −i

N	N		N	ˆ
X	X	ˆ ˆ	X	ˆ
		ˆ ˆ
[ rn × n ] =		[rn × pn ] =		ln.
n=1	n=1		n=1

Операторы повышения и понижения:

ˆ ˆ ± ˆ ˆ | ± | ± j± = jx ijy, j± jm = (j m)(j m + 1) j m 1 .

ÑÏÈÍ 12

Операторы спина:

sˆi = σ2i , σkσl = δkl + iεklmσm.

Матрицы Паули и спиноры:

	1	0		i	0		0	−1
σx =	0	1	, σy =	0	−i	, σz =	1	0	,

χ+	1 =	1	≡ α ≡ \|+ , χ	1 =
		0

	2		−	2

	1	≡ β ≡ \|− .
	0

		СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
ˆ	ˆ	ˆ

Åñëè j = j1		+ j2, òî	mX1 2
		X1 2	mX1 2	jm
\|jm(j1j2) = \|j1m1j2m2 j1m1j2m2\|jm(j1j2) =			Cj1m1j2m2		\|j1m1j2m2 ,
		m m	m
		X	X	jm
\|j1m1j2m2 = \|jm(j1j2) jm(j1j2)\|j1m1j2m2 = Cj1m1j2m2 \|jm(j1j2) ,
		jm	jm
jm
ãäå Cj1m1j2m2 коэффициенты Клебша Гордана.
		ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ЧАСТИЦЫ

Свойство симметрии волновой функции N тождественных бозонов или фермионов со спином s относительно перестановки координат i-é è j-й частиц:

ˆ ±

PijΨ(x1, . . . , xN ) = Ψ(x1, . . . , xN ),

ãäå ¾+¿ соответствует бозонам, а ¾ −¿ фермионам, и x = (r , σ).

Тождественные невзаимодействующие бозоны или фермионы удерживаются

в потенциальном поле ˆ

U. Каждая частица находится в одном из одночастич-

ных состояний |λ с энергией Eλ,

pˆ2

+ Uˆ |λ = Eλ|λ , λ|λ′ = δλ|λ′ ,

2µ

ãäå E1 ≤ E2 ≤ E3 ≤ . . .; ψλ(x) = x|λ волновая функция частицы.

Вектор состояния N тождественных невзаимодействующих бозонов:

≡ |{nλ} = r

|Ψ{nλ}

n1! n2! . . . nM !

|λ1 . . . |λ1 . . . |λM . . . |λM ,

ãäå

. Вектор состояния

тождественных невзаимодействующих фер-

M ≤ N

{z }

}

мионов:

|Ψ{nλ} ≡ |{nλ} =

√N! P

|λiN .

εi1i2...iN |λi1 |λi2 . . .

Вектор состояния невзаимодействующих частиц (бозонов или фермионов) в x-представлении

Ψ{nλ}(x1, . . . , xN ) = x1, . . . , xN |Ψ{nλ} ≡ x1, . . . , xN |{nλ}

удовлетворяет условию симметрии относительно перестановок координат i-é è j-й частиц. Представление, основанное на полном наборе базисных векторов |{nλ} , называют представлением чисел заполнения.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 40 каф (Барабанов)

#
14.12.2025767.66 Кб6A_L_Barabanov_KVANTOVAYa_MEKhANIKA_Chast_2.pdf
#
05.02.202696.62 Mб1БДЗ 5 сем Барабанов.pdf
#
02.06.202660.37 Mб0БДЗ 6 сем часть 1.pdf
#
02.06.202652.65 Mб0БДЗ 6 сем часть 2.pdf
#
05.02.2026323.82 Кб0БДЗ Задания 5 сем Барабанов.pdf
#
02.06.2026381.38 Кб0БДЗ Задания 6 сем Барабанов.pdf
#
05.02.2026126.43 Кб1Экзамен 5 сем Барабанов.pdf

	ω3	− \|dif n\|2 dΩ,
dwif (n) = 2π c3 \|dif \|2		− \|dif n\|2 dΩ,
	if