40 каф (Барабанов) / БДЗ Задания 6 сем Барабанов

РАССЕЯНИЕ

Асимптотика волновой функции и дифференциальное сечение рассеяния для тождественных частиц:

eikr

ψ(r )|r→∞ → eikz ± e−ikz + (f(θ) ± f(π − θ)) r , dσ = w+|f(θ) + f(π − θ)|2dΩ + w−|f(θ) − f(π − θ)|2dΩ.

ПРЯМОЙ ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД Если матричный элемент от гамильтониана квантовой системы по пробной

ции и энергии основного состояния данной системы в выбранном классе функций.

СЛОЖНЫЙ АТОМ Гамильтониан атома в приближении центрального самосогласованного поля:

Терм (уровень) 2S+1L сложного атома обладает кратностью вырождения (2S + 1)(2L + 1); ему соответствуют векторы состояний |ESSzLLz èëè |ESLJJz . Тонкое расщепление терма возникает под действием спинорбитального взаимодействия; поправка ∆EJ к энергии терма E:

∆EJ = A J(J + 1) − S(S + 1) − L(L + 1) . 2

11

АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Оператор взаимодействия атома с постоянным магнитным полем:

Эффект Зеемана расщепление состояний тонкой структуры терма в слабом магнитном поле; поправка к энергии состояния 2S+1LJ :

∆EJJz = µBHgJ Jz,

ãäå gJ фактор Ланде:

gJ = 1 + J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1) . 2J(J + 1)

Эффект Пашена Бака расщепление терма 2S+1L в сильном магнитном поле; поправка к энергии состояния:

∆ESzLz = µBH(Lz + 2Sz).

Поправка к энергии атома инертного газа в постоянном магнитном поле:

ãäå χ диамагнитная восприимчивость.

12

ЗАДАНИЕ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Пояснение: Задачи, включ¼нные в задание, как правило, обсуждаются на семинарах (в объ¼ме, определяемом преподавателем). Задачи со зв¼здоч- кой предназначены для самостоятельного решения. Задачи, помеченные

плюсиком +, обладают повышенной сложностью; их выполнение не обяза-

тельно; они могут обсуждаться на семинарах (по усмотрению преподавателя).

Темы 1-2. Стационарная теория возмущений I

1. Оцените поправку к энергии основного состояния атома водорода,

обусловленную конечным размером ядра. Примите, что ядро представляет собой:

(1) равномерно заряженную сферу радиусом R1,

(2) равномерно заряженный шар радиусом R2.

2. (1) Эрмитовый оператор с дискретным спектром ˆ

F (λ) зависит от пара-

метра λ. Поэтому собственные значения fn(λ) и собственные векторы |n, λ этого оператора также зависят от λ. Докажите следующее соотношение (теорема Гельмана Фейнмана):

ˆ

∂fn(λ) = n, λ|∂F (λ)|n, λ . ∂λ ∂λ

(2) Линейный осциллятор представляет собой частицу массой m, движущуюся в потенциальном поле U(x) = mω2x2/2. Вычислите x2 èp2 в произвольном n-м состоянии осциллятора двумя способами. Вопервых, выразив xˆ è pˆ через операторы aˆ è aˆ†, считая их свойства известными. Во-вторых, воспользовавшись соотношением

ãäå ˆ

H гамильтониан линейного осциллятора, и теоремой ГельманаФейнмана.

(3) Квантовая система (осциллятор, атом . . . ) с полным зарядом, равным нулю, находится в невырожденном стационарном состоянии |n с

энергией En и нулевым средним электрическим дипольным моментом.

В постоянном электрическом поле

E система приобретает средний ди-

польный момент d = αnE, ãäå αn поляризуемость n-го состояния системы. Воспользовавшись теоремой Гельмана Фейнмана, выразите

изменение энергии состояния ∆En через αn и напряженность поля E.

13

3.Найдите электрическую поляризуемость αn n-го состояния линейного

гармонического осциллятора, вычислив по теории возмущений изменение энергии этого состояния в постоянном электрическом поле. Заряд частицы e, масса m, собственная частота колебаний ω.

Совет: Выполните вычисления, пользуясь операторами aˆ è aˆ†.

Если ответ покажется простым, подумайте, нельзя ли его получить иным способом.

4.(1) Оцените (сверху и снизу) электрическую поляризуемость α атома водорода, находящегося в основном состоянии.

(2)Протон и атома водорода (в основном состоянии) находятся на

расстоянии R a друг от друга (a радиус Бора). Выразите энергию

взаимодействия протона и атома через поляризуемость атома α. Как зависит сила, действующая между протоном и атомом, от расстояния R между ними? Это сила отталкивания или притяжения?

(3) + Атом водорода помещают в постоянное и однородное электриче-

облака? Как и почему оно деформируется?

5. + Два атома водорода, находящиеся в основном состоянии, находятся

на расстоянии R a друг от друга (a радиус Бора).

(1)Взаимодействуют ли они? Если да, то почему? Отталкиваются или притягиваются?

(2)Как зависит сила взаимодействия атомов от расстояния R между ними?

6.Найдите поправку ∆En к энергии En состояния |n линейного гармо-

нического осциллятора под действием возмущения

где λ малая постоянная величина, а m и ω масса частицы и частота невозмущ¼нного осциллятора. При каких значениях n справедлив полученный ответ для ∆En?

Указание: Для вычисления поправки к энергии состояния приведите

† в операторе ˆ

все произведения операторов aˆ è aˆ V к нормальной упо-

рядоченной форме (все операторы повышения стоят слева от всех операторов понижения).

14

Тема 3. Стационарная теория возмущений II

7.Атом водорода, находящийся в состоянии с главным квантовым числом n = 2, помещают в постоянное и однородное электрическое поле. Исследуйте расщепление уровня n = 2 (эффект Штарка). Как зависят поправки к энергии уровня n = 2 от напряженности E поля? Почему зависимость от E иная, чем в случае основного состояния атома?

Найдите волновые функции нулевого приближения, описывающие возбужд¼нные (n = 2) состояния атома водорода с определ¼нными энергиями в постоянном и однородном электрическом поле.

Тема 4. Уравнение Дирака

9.Постройте решения ΨEpΛ(r, t) уравнения Дирака для свободной релятивистской частицы, описывающие состояния с определ¼нной энергией E (положительной и отрицательной), импульсом p, спиральностью Λ, а также нормированные на δ-функцию,

Z

Ψ†E′ p ′ Λ′ (r, t)ΨEpΛ(r, t) d3r = δ(p ′ − p )δΛ′ Λ .

Пояснение: спиральность Λ это собственное значение оператора спи-

ральности ˆ ˆ

h = (Σp )/p.

Темы 5-6. Частица в электромагнитном поле

10.Покажите, что уравнения

(1)Дирака,

(2)Паули

инвариантны относительно калибровочных преобразований потенциалов электромагнитного поля.

Как преобразуется волновая функция частицы при калибровочном преобразовании потенциалов?

15

Тема 8. Электромагнитное поле как квантовая система

15.В резонаторе возбуждена одна мода электромагнитного поля с волновым числом

k и линейной поляризацией вдоль единичного вектора ε.

напряженностей электрического и магнитного полей, вычислите средние значения этих полей и их квадратов в произвольной точке r. Âû-

числите также среднюю энергию указанного электромагнитного поля, воспользовавшись следующим выражением для гамильтониана поля:

Темы 9-10. Нестационарная теория возмущений

16. Линейный осциллятор (см. задачу 2, пункт (2)) подвергается воздей-

ствию однородного электрического поля, меняющегося во времени по закону

t2

E(t) = E0e−τ2 .

Считая, что до включения поля (t → −∞) осциллятор находился в

n-м квантовом состоянии, найдите вероятность wk его обнаружения в произвольном k-м состоянии при t → +∞.

P (t) = χ(t)|σ|χ(t) для случая резонанса.

17

щаяся в связанном стационарном состоянии, помещается в магнитное поле

H(t), медленно прецессирующее вокруг оси z, составляя с ней постоянный угол θ. Найдите (приближ¼нно, используя медленность прецессии) зависимость от времени спиновой функции χ(t) частицы, если

в начальный момент времени спин частицы направлен вдоль магнитного поля. Покажите, что поляризация

P (t) следует за направлением магнитного поля. Покажите также, что за один полный оборот вектора

H(t) вокруг оси z спиновая функция приобретает фазу, пропорциональную телесному углу Ω(θ), который охватывает прецессирующий вектор

H(t) (фаза Берри).

19.Найдите дифференциальное сечение фотоионизации атома водорода dσ(θ) = dw(θ)/j под действием линейно поляризованной электромагнитной волны с частотой ω; dw(θ) вероятность вылета электрона в единицу времени под углом θ к некоторой оси (сообразите, какой) в телесный угол dΩ, à j плотность потока падающих на атом фотонов. Примите для определ¼нности, что I ω (4π c/e2)I, ãäå I ≡ ω0 энергия ионизации атома. Вычислите также полное сечение σ и выразите его через произведение геометрического сечения атома πa2, ãäå aрадиус Бора, и некоторого безразмерного множителя, зависящего от отношения ω/ω0.

20.Используя правило Ферми, получите формулу для вычисления диф-

ференциального сечения упругого рассеяния частиц в потенциальном поле U(r ) в борновском приближении. Поле локализовано вблизи точ- ки, принятой за начало координат.

Тема 11. Излучение

21. + Решите задачу 19, воспользовавшись квантовым описанием падаю-

щей электромагнитной волны.

22.Найдите угловое распределение фотонов, излучающихся в спонтанном переходе |2p m → |1s атома водорода, если

(1)m = 1,

(2)m = 0.

Вычислите также время жизни |2p состояния (в секундах).

18

Тема 12. Спин. Оператор поворота

23. (1) Оператор поворота, действующий в пространстве спиноров, опи-

(2) Пусть спинор χ(+1n)/2 описывает состояние частицы со спином 1/2 и его проекцией +1/2 на направление n, заданное полярным углом θ è

азимутальным углом φ. Покажите, что этот спинор можно получить,

подействовав оператором поворота ˆ 1 , выбрав R(α) на спинор χ0 = 0

подходящий вектор поворота α = αn0. Выразите угол α, а также углы θ0 è φ0, определяющие направление вектора n0, через θ è φ.

24. В осеннем семестре решалась задача:

χ(t), зависящий от времени.

Решите эту задачу следующим способом: постройте оператор эволюции

26. Вычислите коэффициенты Клебша Гордана для случая сложения уг-

ловых моментов j1 = 1 è j2 = 1/2. Воспользовавшись этими коэффициентами, напишите явные выражения для волновых функций ψ2pjµ(r, σ) электрона, находящегося в 2p-состоянии атома водорода (отдельно для полного углового момента j = 1/2 и всех возможных проекций µ этого углового момента на ось z, и отдельно для j = 3/2 и всех соответствующих проекцией µ).

Замечание: по общему правилу волновая функция ψ2pjµ(r, σ) представляет собой амплитуду вероятности того, что электрон находится в точ- ке r с проекцией σ спина на ось z.

19

27.Релятивистские поправки к энергии стационарного состояния |nljµ

атома водорода, обусловленные спин-орбитальным взаимодействием и эффектом Дарвина, определяются средним значением оператора 1/r3

и значением волновой функции в начале координат |ψnlm(0)|2. Вычис-

лите эти поправки, воспользовавшись результатами, полученными в задаче 14.

28.+ Вычислите релятивистские поправки к энергии En состояния атома водорода с главным квантовым числом n. Выразите эти поправки в атомных единицах энергии. Найдите энергии подуровней Enlj, харак- теризующихся орбитальным моментом l и полным угловым моментом j (тонкое расщепление уровня n). Нарисуйте схему расщепленных подуровней для n = 2.

29.Найдите величину сверхтонкого расщепления основного состояния атома водорода:

(1) обычного (e−+p),

(2) òÿæ¼ëîãî (e−+d).

Выразите величину расщепления через произведение атомной единицы энергии и некоторого безразмерного множителя. Вычислите также длину волны излучения, испускающегося при переходе между расщепленными подуровнями (выразите е¼ в см).

Замечание: Оператор магнитного момента нуклона или ядра записы-

µ = gµN I, ãäå µN = e /(2mpc) ядерный магнетон (mp

ˆ

масса протона),

I оператор спина нуклона или ядра.

Справка: g-факторы протона и дейтрона приблизительно равны 5.58 è 0.86.

30. + Атом водорода, находящийся на верхнем подуровне |1f сверхтонкой

структуры основного состояния, может перейти на нижний подуровень |00 за сч¼т излучения фотона. Найдите угловое распределение фото-

нов, излучающихся в переходе |1f → |00 , åñëè: (à) f = 1, (á) f = 0.

Вычислите также время жизни атома водорода относительно указанного перехода (в годах).

20