Сплайн-интерполяция

Как уже говорилось, уйти от зависимости степени интерполяционного полинома от количества узлов таблицы исходных данных можно разбив таблицу данных на части и на каждой из таких частей решать задачу интерполяции отдельно. Степень полученных полиномов будет меньше, но полиномов будет много. Такая задача и получила название сплайн-интерполяции.

Как правило таблица разбивается на пары узлов, то есть на части (x₀ , x₁), (x₁ , x₂), (x₂ , x₃), …, (x_n-1 , x_n). Если на каждом из таких частей построить полином первой степени, то есть соединить прямыми соседние узлы, то получатся полиномы, которые согласованы (равны) только по значениям, первые, вторые и т.д. производные у них будут разные. Если потребовать согласование (равенство) соседних полиномов по первой производной, то это станет возможным на полиномах второй степени, если же потребовать согласование и по первой, и по второй производной, то потребуются полиномы третье степени.

Считается, что этого достаточно и полученная составная функция уже достаточно гладкая. В физике есть пример сплайн-интерполяции 3 степени: если взять гибкую упругую линейку и провести её так, чтобы она огибала все узлы интерполяции, то получится именно такая функция. Если эту функцию рассматривать как траектории движения, то получится бархатный путь.

Для нахождения коэффициентов каждого полинома третьей степени необходимо иметь четыре уравнения. Если таких полиномов n, то получается, что для решения задачи сплайн-интерполяции третьего порядка нужно решить систему из 4*n уравнений.

Ниже приведен пример решения задачи сплайн-интерполяции первого, второго и третьего порядка. Из Шакина.