Полином Ньютона

Полином Лагранжа есть универсальная форма интерполяционного полинома. При его построении нет никаких ограничений или условий, касающихся как исходной сетки, так и самого полинома. Лишь бы выполнялось условие интерполяции 2.1.

Однако кроме представления интерполяционного полинома в форме Лагранжа существуют и другие виды представления интерполяционного полинома. Пример другого представления интерполяционного полинома – полином Ньютона. Одна из форм полинома Ньютона строится для равноотстоящих узлов интерполяции. Это значит, что рассматриваются только таблицы с равномерной сеткой, то есть такие, для которых шаг сетки постоянный:

h = = const для i = 0, …, n-1.

При таком ограничении удается получить полиномы, имеющие некоторые полезные свойства, о которых будет сказано ниже.

В полиномах Ньютона используются такие элементы математики как конечные разности. Что это такое?

Конечной разностью первого порядка называется разность

D = , где = f( +h) и = f( ).

Для функции, заданной таблично в (n+1) узлах, i = 0, 1, 2, …, n, конечные разности первого порядка могут быть вычислены в точках 0, 1, 2,…, n-1 следующим образом:

Используя конечные разности первого порядка, можно получить конечные разности второго порядка:

Для конечной разности k-го порядка в узле с номером i справедлива формула, позволяющая вычислять конечные разности с помощью таблицы конечных разностей:

_.

Тогда можно построить таблицу конечных разностей, которая выглядит следующим образом:

Таблица 1.

x	y	Dy	D2y	D3y	…	Dny
		D = -	D2 =D	D3	…	Dn
		D = -	D2 =D	…	…
		D =	…	…
…	…	…	…	D3
…	…	…	D2
		D =

Следует обратить внимание, что в таблице конечных разностей заполнена верхняя треугольная половина таблицы.

Теперь можно приступать к построению полинома Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции.

Интерполяционный полином Ньютона

Будем искать интерполяционный многочлен вида:

(x) = + (x- )+ (x- )(x- )+ …+ (x- )(x- )…(x- ), (2.12)

где – неизвестные коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции (i =0,1,2,…,n).

Для нахождения коэффициентов формулы Ньютона будем подставлять в (2.12) значения х, совпадающие с узлами интерполяции, требуя выполнения условия (2.1).

Пусть х = тогда, согласно (2.1), Pn( ) = = . Все остальные слагаемые (2.12) равны нулю. Следовательно, = .

Далее. Пусть х = , тогда

( ) = = + (x- ). (2.13)

Из равенства (2.13) следует, что = = .

Теперь пусть х = , тогда:

Выражая неизвестный коэффициент, получим:

Продолжая подстановку, можно получить выражение для любого коэффициента с номером i:

Подставив найденные значения коэффициентов в (2.12), получим первую интерполяционную формулу Ньютона:

(2.14)

На что похож полином Ньютона?

Вспомните как выглядит ряд Тейлора из высшей математики.

Ряд Тейлора: вот так можно записать разложение «гладкой» функции f(x) около точки :

f(x) = f( ) +

… +

Неправда ли похоже? Разница в том, что в ряде Тейлора используются производные функции f(x) в точке а в полиноме Ньютона их дискретные аналоги … ,

(2.15)

Из высшей математики известен остаточный член ряда Тейлора

=

Сравним остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа (2.10), остаточный член ряда Тейлора (2.16) и учитывая (2.15), остаточный член полинома Ньютона можно записать так

= (2.17)

И тогда оценка погрешности полинома Ньютона выглядит следующим образом

= | |

Используя переменную q = формула (2.18) представляется так

= | | (2.19)

Как оценивать погрешность для эмпирической таблицы в случае, когда она получена в ходе эксперимента, или когда функция f(x) неизвестна.

В этом случае поступают следующим образом. Строят таблицу конечных разностей. Если конечные разности становятся почти постоянными, тогда в (2.18) можно заменить на и становится ясно, что оценка погрешности принимает вид

<= | (2.20)

Далее. Сравнивая остаточный член полинома Лагранжа (2.10) и остаточный член полинома Ньютона (2.18), можно сделать вывод, что и оценку погрешности полинома Лагранжа можно получать аналогично (2.20):

<= | (2.21)

Итак, научились описывать функцию, заданную в виде таблицы аналитически. Умеем строить интерполяционный полином, значения которого совпадают с табличными значениями в узлах интерполяции. Это хорошо! Получили оценки погрешности интерполяционных полиномов.

Что дальше?

Где эти полиномы использовать? В каких прикладных задачах применяются результаты задачи интерполяции.

Одна из задач, в которых используются интерполяционные полиномы - это задача интерполяции в точке.