Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке [−1,1] в пространстве �2. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов {1,x,x^2,x^3,…} ортогонализацией Грама ― Шмидта.

• Многочлен Чебышёва первого рода ��(�)  характеризуется как многочлен степени n  со старшим коэффициентом 2^(n−1) , который меньше всего отклоняется от нуля на отрезке [−1,1] . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлены Чебышёва второго рода

• Многочлен Чебышёва второго рода ��(�)  характеризуется как многочлен степени n  со старшим коэффициентом 2^n , интеграл от абсолютной величины которого по отрезку [−1,1]  принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.

Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

https://books.ifmo.ru/file/pdf/1953.pd ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ. МНК.Список литературыf

Глава 2 Аппроксимация

Аппроксима́ция (от лат. proxima — ближайшая) или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми. Эта замена не есть самоцель. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). Использование более простых объектов дает возможность получать решение задач, которые для исходных объектов найти не удается.

Существует несколько методов получения более простых объектов, которые близки с исходными объектами. Ниже рассматриваются два варианта этих методов. Их отличие друг от друга состоит в интерпретации такого понятия как близость к исходным объектам. Имеются в виду методы, один из которых называется интерполяция, другой – метод наименьших квадратов.

Исходными данными для обоих методов служат таблицы значений, отображающие некоторую зависимость для заранее известного количества n.

Таблица 2.1

x				…
y				…

Как получена эта таблица – не принципиально. Это могут быть значения аппроксимируемой сложной функции, которую надо заменить на более простую аппроксимирующую функцию, это могут быть данные, полученные в ходе каких-то экспериментов или измерений. Однако предполагают, что в любом случае эта зависимость есть некоторая гладкая функция, имеющая множество производных.

О таблице 2.1 говорят или как о наборе узлов интерполяции, то есть точках ( , ), ( , ) …, ( , ), или как о сетке , на которой заданы значения .

Результатом использования методов будут достаточно простые функции, которые в некотором смысле близки к данным, описанным таблично. В терминах определения аппроксимации происходит замена исходного объекта – таблицы на более простой объект – аппроксимирующую функцию, которая близка к табличным значениям.

Отличие двух методов друг от друга состоит в определении что такое близость аппроксимирующей функции и таблицы.

Как правило, получение такой функции не является самоцелью. В дальнейшем эта функция используется для решения других задач, в которых применение исходной модели, будь это сложная функция, или табличные данные затруднительно или невозможно.

Итак, первый метод, который будет описан ниже, называется интерполяцией.

Интерполяция Постановка задачи

Задача замены таблично заданной в (n + 1) точках интерполируемой функции y = f(x), некоторой интерполирующей функцией j(х), принимающей в этих точках заданные значения функции, то есть

, i = 0, 1, 2, … n (2.1)

Уравнения (2.1) называется условием интерполяции.

Вид интерполирующей функции зависит от вида элементарных функций, входящих в состав интерполируемой функции (экспоненциальная, логарифмическая, тригонометрическая и др.).

Классический пример интерполирующей функции – полином, то есть функция вида

j_m(x) = a₀ + a ₁x + a ₂x² + … + a_mx^m. (2.2)

В этом случае говорят о параболической или полиномиальной интерполяции. Что привлекает в таком виде интерполирующей функции: это гладкая функция, имеющая бесконечное число производных, , интегралы вычисляются аналитически, полином задается набором коэффициентов, иногда можно найти нули этого полинома.

Возникает вопрос о количестве таких полиномов и о степени полиномов. Очевидно, что степень полинома должна быть наименее возможной. Из предварительных исследований на небольшом числе узлов можно предположить, что такой полином единственный и его степень на единицу меньше, чем количество узлов: на рис. 2.1 через два узла ( , ) и ( , ) проведена прямая j₁(x), то есть построен полином первой степени, через три узла ( , ), ( , )., ( , ) проведена парабола j₂(x)– полином второй степени. Из геометрии известно, что через две точки проходит одна прямая, через три точки можно провести одну параболу. Есть надежда, что предположение справедливо и в других случаях.

Ну а рис. 2.1 служит геометрической иллюстрацией задачи интерполяции.

Рис.2.1