1.4. Формы таблиц для занесения результатов

Таблица 1–3

k	0	1	2	…	n
xk	x0	x1	x2	…	xn
yk	y0	y1	y2	…	yn

Таблица 1–4

(для полинома Ньютона)

Степень многочлена k	Pk(x)	Погрешность
1	P1(x)	|P1(x) – P2(x)|
2	P2(x)	|P2(x) – P3(x)|
3	P3(x)	–

Таблица 1-5

(для полинома Лагранжа)

Степень многочлена k	Lk(x)	Погрешность
1	L1(x)	|L1(x) – L2(x)|
2	L2(x)	|L2(x) – L3(x)|
3	L3(x)	–

1.5. Содержание отчета

1. Фамилия и имя студента, номер группы.

2. Название и цель лабораторной работы.

3. Индивидуальный вариант задания к работе.

4. Таблицы 1–3 с перенумерованными узлами интерполяции.

5. Интерполяционные формулы для ручных расчетов и результаты расчетов в таблицах 1–4 и 1-5.

6. Схема алгоритма и программа.

7. Выводы.

1.6. Пример выполнения задания

1. Точка интерполяции для формулы Ньютона a = 0.12.

Выбор и нумерация узлов.

Для ручной интерполяции в точке x = a = 0.12 по 1 формуле Ньютона выбираем 4 узла из таблицы 1–2 так, чтобы точка a = 0.12 оказалась между узлами с номерами с 1 по 2 и добавляем узлы вправо:

Номера выбранных узлов (k)	xk	yk
1	0.10	-4.1330
2	0.15	-4.0845
3	0.20	-4.0240
4	0.25	-3.9500

Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке по первой формуле Ньютона, точка должна быть внутри таблицы для полинома любой степени, в том числе и первой. Поэтому нулевой и первый узел должны находиться по разные стороны от самой точки x=a. Если нулевой узел находится слева от точки, а первый узел находится справа от точки, то шаг h=x1-x0 будет положительным и добавлять узлы следует справа относительно точки x=a. Если же нулевой узел находиться справа от точки, а первый узел находиться слева, то шаг h=x1-x0 будет отрицательным, и добавлять узлы следует слева.

Изменим нумерацию узлом интерполяции для использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицы вида 1–3.

k	0	1	2	3
xk	0.10	0.15	0.20	0.25
yk	-4.1330	-4.0845	-4.0240	-3.9500

Ручной расчет по 1–й формуле Ньютона.

Заполним таблицу конечных разностей:

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y
0.10	-4.1330	0.0485	0.0120	0.0015
0.15	-4.0845	0.0605	0.0135
0.20	-4.0240	0.0740
0.25	-3.9500

Запишем 1–ю интерполяционную формулу Ньютона

для полиномов 1–й, 2–й и 3–й степени и выполним расчеты по ним. Определим значение q:

Значение полинома 1-й степени в т. x=0.12:

Значение полинома 2-й степени в т. x=0.12:

Значение полинома 3-й степени в т. x=0.12:

Важно: Явные выражения для полиномов 1, 2 и 3 степени могут быть получены после соответствующих преобразований формулы:

В нашем случае они будут иметь вид:

Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности полученных значений для полиномов 1–й и 2–й степени:

Степень многочлена k	Pk(x)	Оценка погрешности
1	–4.1136	0.0014
2	–4.1150	0.0001
3	–4.1149	–

Вывод. Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в точке а. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:

Можно утверждать, что разность между точным (неизвестным) значением функции и значением интерполяционного полинома в точке x=0.12 после 3-х итераций не превышает 0.0001.

2. Точка интерполяции для формулы Лагранжа b = 0.52.

Выбор и перенумерация узлов.

Для ручной интерполяции в точке x = b = 0.52 по формуле Лагранжа выбираем из таблицы 3–2 4 узла так, чтобы точка b = 0.52 оказалась внутри получающийся таблицы и узлы были наиболее близкими к этой точке. В итоге выбираем узлы с номерами 8, 9, 10, 11:

8	0.45	-3.4890
9	0.50	-3.3250
10	0.55	-3.1385
11	0.60	-2.9280

Следует отметить, что формула Лагранжа может использоваться как для таблиц с постоянным шагом, так и с непостоянным шагом. Перенумеруем узлы интерполяции руководствуясь двумя правилами: точка x=b должна быть внутри таблицы и узлы должны быть ближайшие к ней. Занесем перенумерованные узлы в таблицу вида 2–3:

k	0	1	2	3
xk	0.50	0.55	0.45	0.60
yk	-3.3250	-3.1385	-3.4890	-2.9280

Ручной расчет по формуле Лагранжа.

Запишем интерполяционные полиномы Лагранжа 1–й, 2–й и 3–й степени и вычислим их значения в точке x = b = 0.52:

Обратите внимание, что: выражения для полиномов 1, 2 и 3 степени (в явном виде) после соответствующих преобразований следует получить самостоятельно!

Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:

Степень многочлена k	Lk(x)	Оценка погрешности
1	–3.2504	0.0027
2	–3.2531	0.0001
3	–3.2532	–

Вывод. Получены выражения для интерполяционных полиномов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. b. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:

Можно утверждать, что разность между точным (неизвестным) значением функции и значением интерполяционного полинома в точке x=0.52 после 3=х итераций не превышает 0.0001.