Раздел 2: системы счисления. Арифмитические операции в разных ситемах счисления. Представления отрицательных и вещественных чисел
2.1 Системы счисления, их виды, история формирования.
Система счисления – символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков[4]. Система счисления
Даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
Даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
Отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.
Системы счисления подразделяются на
Позиционные;
Непозиционные;
Смешанные.
А также их можно разделить на
Аддитивные;
Мультипликативные.
Непозиционные системы счисления – это системы счисления, в которых величина, обозначенная цифрой, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания [4].
Самой ранней непозиционной системой счисления считается унарная (в ней количество предметов обозначалось равным количество условных значков) [4].
Следующей значимой системой счисления можно считать Римскую систему счисления, которая сохранилась до наших дней. В её основе лежат знаки: I (один палец) или единица; V (раскрытая ладонь) или цифра пять; X (две сложенные ладони) или число 10. Для обозначения более крупных применялись первые буквы соответствующих латинских слов («Centum» – сто, «Demimille» – половина тысячи, «Mille» – тысяча). Таким образов числа формировались путём составления последовательности условных знаков с определенным правилом: «младший» символ вычитался из «старшего», если стоял левее, и прибавлялся, если стоял правее [4].
Более совершенными непозиционными системами счисления считаются алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа от одного до десяти обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита; числа от десяти до девяноста – следующими девятью буквами; а числа от ста до девятисот – последними девятью буквами [4].
В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от её положения (позиции) в записи (коде) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой – числа записываются с помощью десяти цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее – десятки, ещё левее – сотни и т.д. Однако существовали и другие системы счисления, например:
Шестидесятеричная система (родом из Древнего Вавилона). Это первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание, равное 60 (одна минута равна шестидесяти секундам, один час – шестидесяти минутам).
Двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в девятнадцатом веке; число «двенадцать» – «дюжина»; в сутках две дюжины часов).
Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления распространились с развитием компьютерной техники. В двоичной используются только «0» и «1»; в восьмеричной – цифры от нуля до 7; в шестнадцатеричной – цифры от нуля до девяти и буквы латинского алфавита от «A» до «F» [4].
В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена [4].
В аддитивной системе счисления каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:
.
Тогда как в мультипликативной системе счисления каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе [4].