Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

"Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники" (ТУСУР)

Кафедра радиотехнических систем (РТС)

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

Отчет по лабораторной работе

по дисциплине «Статистическая теория радиотехнических систем»

оценка ___________

Выполнили: Студенты гр. ___________ « » 2025 г. Проверил: Преподаватель каф РТС ___________ Рыбаков И.А. « » 2025 г.

Томск 2025

1 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Образуем R = 8 выборок объёмом N = 200 из независимых случайных величин, принадлежащих случайному стационарному сигналу X(t) с одномерной равномерной плотности распределения вероятность (ПРВ). На рисунке 1.1 представлена восьмая реализация сигнала X(t), имеющего математическое ожидание m_x = 5 и среднеквадратическим (стандартным) отклонением σ_x = 3.

Рисунок 1.1 – Одна из реализаций случайного стационарного сигнала с одномерной равномерной ПРВ

При изменении величины математического ожидания изменяется среднее значение случайного процесса: при уменьшении m_x график реализации сдвигается вниз относительно оси ординат, и наоборот, при увеличении – сдвигается вверх.

В случае увеличения среднеквадратического отклонения наблюдается увеличение разброса значений случайного процесса относительно математического ожидания на величину, примерно равную D_x = σ_x².

2. Приведём первые 10 отсчётов из 200 (величина выборки) для 1-й и 2-й реализаций случайного процесса с двумя вариантами параметров, определяющих каждую из ПРВ: m_x = 5, σ_x = 3 (рисунок 1.2) и m_x = 10, σ_x = 1 (рисунок 1.3).

Рисунок 1.2 – Первые десять отсчётов для двух реализаций случайного процесса: m_x = 5, σ_x = 3

Рисунок 1.3 – Первые десять отсчётов для двух реализаций случайного процесса: m_x = 10, σ_x = 1

В соответствии с вышесказанным, на рисунках 2.2 - 2.3 наблюдается изменение среднего значения и разброса величин отсчётов.

3. Вычислим теоретические значения математического ожидания и дисперсии для случайного сигнала с заданной одномерной ПРВ для первоначального варианта параметров сигнала (m_x = 5, σ_x = 3). Результаты вычислений представлены на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 – Вычисление теоретических значений математического ожидания и дисперсии

Результаты вычислений сходятся с заданными параметрами.

4. Вычислим оценки математического ожидания и дисперсии путём усреднения элементов k-ой выборки по времени при объёмах выборки N = 5, 50, 100 (рисунок 1.5).

а)	б)
в)

Рисунок 1.5 – Оценки математического ожидания и дисперсии при объёмах выборки: а) N = 5, б) N = 50, в) N = 100

Оценка математического ожидания становится более приближенной к заданному значению при увеличении объёма выборки: для выборки из 5 значений наибольшее отклонение от математического ожидания составляет 3,395, в то время как для 100 значений – 0,519.

Также меняется оценка дисперсии, предел изменения которой уменьшается с увеличением объёма выборки. Для 5 отсчётов дисперсия изменяется в пределах от 1,51 до 14,388, для 50 – от 5,328 до 11,639 и для 100 – от 6,847 до 10,546.

Данные наблюдения можно объяснить тем, что при увеличении объема выборки оценки математического ожидания и дисперсии становятся более устойчивыми к случайным колебаниям отдельных наблюдений. Это происходит потому, что влияние каждой отдельной выборки на общую оценку уменьшается.

5. Вычислим оценку автокорреляционной функции (АКФ) K(j) для целочисленных значений . Результаты представлены на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 – Оценка АКФ функции

К₀(0) = (0) – нормировочное значение ковариационной функции K₀(j), являющееся оценкой смещения при нулевом значении (коэффициентом корреляции при нулевом смещении). Первое значение АКФ равно единице, так как нет значений ковариационной функции до момента j = 0. Далее, значение АКФ практически всегда равно нулю, так как рассматривается случайный процесс, из чего следует, что его значения не зависимы и не предсказуемы.

6. Вычислим оценку ПРВ сигнала X(t), представленную на рисунке 1.7. В первом столбце массива А расположены координаты середин всех М подынтервалов. Поскольку подынтервалы имеют равную ширину ∆x, то, очевидно, ∆x = А_2,1 – А_1,1. Во втором столбце расположены частоты – количество элементов выборки, сумма которых равна объёму выборки N.

Рисунок 1.7 – Оценка АКФ функции

7. Исследуем рассеяние (разброс) оценок среднего значения и дисперсии сигнала в зависимости от объема выборки N, при количестве опытов R = 50 (рисунок 1.8).

а)	б)
в)	г)

д)

Рисунок 1.8 – Результаты расчётов рассеяния оценок среднего значения и дисперсии сигнала в зависимости от объема выборки N = 5, 50, 100, 200

Из рисунка 1.8 видно, что с увеличением объёма выборки оценка математического ожидания стремится к математическому ожиданию сигнала, а оценка дисперсии стремится к нулю.

Оценка математического ожидания является состоятельной - с ростом N она стремится к истинному значению.

Хотя оценка дисперсии стремится к нулю (так как по формуле D_r является суммой разностей значений реализации и математического ожидания случайного процесса), это не означает, что сама дисперсия процесса равна нулю. Это означает, что её оценка становится все более точной и менее вариативной.

8. Влияние параметров математического ожидания и дисперсии на поведение теоретической и экспериментальной ПРВ гауссового вида продемонстрированно на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9 – Реализации ПРВ гауссового вида для различных параметров математического ожидания и среднеквадратичного отклонения

Пик ПРВ находится на величине математического ожидания, так как оно является наиболее вероятным. При увеличении дисперсии увеличивается интервал возможных значений случайного процесса, что ведёт к уменьшению вероятности появления значения, равного математическому ожиданию. Данное явление можно объяснить тем, что суммарная вероятность, равная 1, «делится» между всеми значениями, количество которых увеличивается.

9. Исследуем влияние соотношения объёма выборки N = 200 и 5000 и количества разрядов гистограммы M = 10 и 50 на поведение оценки ПРВ (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10 – Влияние соотношения объёма выборки и количества разрядов гистограммы на поведение оценки ПРВ

При увеличении объёма выборки гистограмма принимает вид, близкий к теоретической ПРВ, что объяснялось ранее тем, что при суммировании большего количества значений уменьшается влияние «скачков» случайных параметров. При увеличении числа интервалов также наблюдается приближение гистограммы к теоретической кривой ПРВ.

Заключение

В ходе данной лабораторной работы изучены и экспериментально оценены основные вероятностные характеристики дискретных во времени случайных сигналов с непрерывным множеством значений:

1. При изменении величины математического ожидания изменяется среднее значение случайного процесса. В случае увеличения среднеквадратического отклонения наблюдается увеличение разброса значений случайного процесса относительно математического ожидания.

2. При увеличении объема выборки оценки математического ожидания и дисперсии становятся более устойчивыми к случайным колебаниям отдельных наблюдений. Также, с увеличением объёма выборки оценка математического ожидания стремится к математическому ожиданию сигнала, а оценка дисперсии стремится к нулю.

3. Пик ПРВ находится на величине математического ожидания, так как оно является наиболее вероятным. При увеличении дисперсии увеличивается интервал возможных значений случайного процесса, что ведёт к уменьшению вероятности появления значения, равного математическому ожиданию.

4. При увеличении объёма выборки и числа интервалов гистограмма принимает вид, близкий к теоретической ПРВ.