2. Анализ цепи во временной области методом переменных состояний при постоянных воздействиях

Рис.3. Схема цепи 𝑢₀⁽𝑡⁾ = 4𝛿₁⁽𝑡⁾; 𝑖₀⁽𝑡⁾ = 1

1. Начальные условия

Рис.4. Схема цепи t = 0-

_𝑖𝐿

⁽0 −⁾ = 𝑖₀

𝑅₂

∙

_𝑅2 + 𝑅₅

₌ 0.111; 𝑢_𝐶

⁽0 −⁾ = 𝑖_𝐿

⁽0 −⁾ ∙ 𝑅₅

= 0.889

2. Уравнения состояния цепи для t > 0.

Рис.4. Схема цепи для t > 0

𝐼^𝑘 = − 1 𝑢

8 12

+ 𝑖 −

⁽𝑅₄ + 𝑅_𝐻⁾𝐼^𝑘 − 𝑅₄𝐼^𝑘 = −𝑈₀

¹ 11 ^𝐶

11 ^𝐿 11

{ ^{1 2} → {

^−𝑅₄𝐼^𝑘 + ⁽𝑅₄ + 𝑅₅⁾𝐼^𝑘 = −𝑢_𝑐 + 𝑅₅𝑖_{𝐿 𝑘} ⁵

10 4

1 2 _𝐼2

= − ₄₄ 𝑢_𝐶 +

5 10

11 ^{𝑖𝐿 −} 11

4

2

𝑖_𝐶 = 𝐼^𝑘

{

𝑖_𝐶 = −

→ {

₄₄ 𝑢_𝐶 +

11 ^{𝑖𝐿 −} 11

₂

𝑢_𝐿 = ⁽𝐼₀ − 𝑖_𝐿⁾𝑅₂ − (𝑖_𝐿 − 𝐼^𝑘)𝑅₅

𝑢_𝐿 = −

10

₁₁ 𝑢_𝐶 −

19 21

11 ^{𝑖𝐿 −} 11

2. Аналитические решения уравнений состояния.

_𝑢′

1 5 1 10

− ∙ ∙

_𝑢𝐶

4

⁻ 𝑝 0

1 5 1 10

− ∙ ∙

𝑖

′

_[ 𝐶_{] = [} 𝐶 44

_{𝐿 −} 1 _∙ 10

𝐿 11

𝐶 11

1 19

− ∙

𝐿 11

] ∙ [

𝑖_𝐿

] + [

−

¹¹] ; |[

21

11

0 𝑝

_{] − [} 𝐶 44

1 10

− ∙

𝐿 11

𝐶 11

1 19

− ∙

𝐿 11

]| = 0

𝑝² + 0.6102 ∙ 𝑝 + 0.1033 = 0 => 𝑝_1,2 = −0.305 ± 0.101𝑗

^𝑢_𝐶⁽𝑡⁾ = 𝑢_𝐶вын + 𝐴₁𝑒^−0.305𝑡 cos⁽0.101𝑡⁾ + 𝐴₂𝑒^−0.305𝑡 sin⁽0.101𝑡⁾

^𝑖_𝐿⁽𝑡⁾ = 𝑖_𝐿вын + 𝐵₁ ∙ 𝑒^−0.305𝑡 ∙ cos⁽0.101𝑡⁾ + 𝐵₂ ∙ 𝑒^−0.305𝑡 ∙ sin⁽0.101𝑡⁾

1 5

₀ − ∙

1 10

_∙

4

^𝑢𝐶вын ⁻ ₁₁

[₀] = [

𝐶 44

1 10

𝐶 11

1 19

^{] ∙ [ 𝑖}𝐿вын

] + [

₂₁] ; 𝑢_𝐶вын = −2.311; 𝑖_𝐿вын = 0.111

− ∙

𝐿 11

5

− ∙ −

𝐿 11 11

10 4

𝑖_𝐶⁽0 +⁾ == − ₄₄ 𝑢_𝐶⁽0 −⁾ + ₁₁ 𝑖_𝐿⁽0 −⁾ − ₁₁ = −0.364

10 19 21

𝑢_𝐿⁽0 +⁾ = − ₁₁ 𝑢_𝐶⁽0 −⁾ − ₁₁ 𝑖_𝐿⁽0 −⁾ − ₁₁ = −2.909

_{ −2.311 + 𝐴₁ = 0.889

−0.305𝐴₁ + 0.01𝐴₂ = −0.11

_{; {} 0.111 + 𝐵₁ = 0.111

−0.305𝐵₁ + 0.01𝐵₂ = −0.97

𝐴₁ = 3.2; 𝐴₂ = 8.567; 𝐵₁ = 0; 𝐵₂ = −9.591

^𝑢_𝐶⁽𝑡⁾ = −2.311 + 3.2𝑒^−0.305𝑡 cos⁽0.101𝑡⁾ + 8.567𝑒^−0.305𝑡 sin⁽0.101𝑡⁾

^𝑖_𝐿⁽𝑡⁾ = 0.111 − 9.591𝑒^−0.305𝑡 sin⁽0.101𝑡⁾

2. Решение уравнений состояния методом Эйлера

^⎛𝑢𝐶𝑒

^[(𝑛 + 1⁾∆𝑡^] = 𝑢_𝐶𝑒

⁽𝑛∆𝑡⁾ + ∆𝑡 ^{𝑑𝑢𝐶𝑒} |

𝑑𝑡

𝑡=𝑛∆𝑡

^{⎨ 𝑖}𝐿𝑒

{

^[(𝑛 + 1⁾∆𝑡^] = 𝑖_𝐿𝑒

⁽𝑛∆𝑡⁾ + ∆𝑡 ^{𝑑𝑖𝐿𝑒} |

𝑑𝑡

𝑡=𝑛∆𝑡

∆𝑡 5 10 4

𝑢_𝐶𝑒^[(𝑛 + 1⁾∆𝑡^] = 𝑢_𝐶𝑒⁽𝑛∆𝑡⁾ + _𝐶 (− ₄₄ 𝑢_𝐶𝑒(𝑛∆𝑡) + ₁₁ 𝑖_𝐿𝑒(𝑛∆𝑡) − ₁₁)

^{ ∆𝑡 10

19 21

𝑖_𝐿𝑒 ^[(𝑛 + 1⁾∆𝑡^] = 𝑖_𝐿𝑒⁽𝑛∆𝑡⁾ +

_𝐿 (− ₁₁ 𝑢_𝐶𝑒(𝑛∆𝑡) − ₁₁ 𝑖_𝐿𝑒 (𝑛∆𝑡) − ₁₁)

2. Графики аналитического и численного решения уравнений состояния

1

Uc(t)

 1

Uce(t)

 2

 3

t

Рис.5. График зависимости 𝑢_𝐶(𝑡)

0.

IL(t)

 0.

iLe(t)

 1

 1.5

t

Рис.6. График зависимости 𝑖_𝐿(𝑡)

3. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

Рис.7. Схема цепи Рис.8. Форма воздействия

1. Определить для цепи функцию передачи

𝑖₀⁽𝑡⁾ = 𝛿⁽𝑡⁾; 𝐼₀⁽𝑠⁾ = 1

⁽𝑅₄ + 𝑅_𝐻⁾𝐼^𝑘 − 𝑅₄𝐼^𝑘 + 0𝐼^𝑘 = 0

_⎛ 1 2 3

−𝑅 𝐼^𝑘 + (𝑅 + 𝑅 + 1 ) 𝐼^𝑘 − 𝑅 𝐼^𝑘 = 0

_⎨ 4 1 4 5 _𝑠𝐶 2 5 3

{0𝐼^𝑘 − 𝑅₅𝐼^𝑘 + ⁽𝑠𝐿 + 𝑅₂ + 𝑅₅⁾𝐼^𝑘 = 𝑅₂𝐼₀(𝑠)

1 2 3

𝐼 ⁽𝑠⁾ = 𝐼^𝑘(𝑠⁾ = ∆1 = 32

32𝑠

=

𝐻 1

^∆ 132𝑠 + ^13.636 + 80.545

𝑠

132𝑠² + 80.545𝑠 + 13.636

_{𝐻(𝑠) =} 𝐼_Н⁽𝑠⁾ ₌ 0.2424𝑠

𝐼₀⁽𝑠⁾ 𝑠² + 0.6102𝑠 + 0.1033

2. Нули и полюсы функции передачи

Полюсы: 𝑠² + 0.6102𝑠 + 0.1033 = 0

𝑠_1,2 = −0.305 ± 0.101𝑗

Нули в ∞ 2 раза

 0

Рис.9. Полюсы на комплексной плоскости

3. Импульсная и переходная характеристики

^ℎ(𝑡⁾ = ℒ^−1[𝐻⁽𝑠^)](𝑡⁾ = 0.242𝑒^−0.305𝑡 cos⁽0.101𝑡⁾ − 0.732𝑒^−0.305𝑡 sin⁽0.101𝑡⁾

ℎ ⁽𝑡⁾ = ℒ⁻¹ [𝐻(𝑠)] ⁽𝑡⁾ = 2.388𝑒^−0.305𝑡 sin⁽0.101𝑡⁾

_{1 𝑠}

0.3

0.22

0.14

h(t)

0.06

_{ 0.02} 0 6 12 18 24 30

 0.1

t

h1(t)

0 6 12 18 24 30

t

Рис.10. Графики зависимости импульсной и переходной характеристик