3. Графическое решение задачи

Решим задачу с помощью графического метода. На координатной плоскости построим область, состоящую из всех точек, координаты которых соответствуют заданным ограничениям.

Так как каждое из неравенств в системе определяет отдельную полуплоскость, то при учёте неотрицательности всех переменных, вся система ограничений формирует в первой координатной четверти область, которая ограничена тремя прямыми (L1, L2, L3) и осями координат (рис.1).

А

Рис. 1 Графическое решение задачи

Точка А является точкой пересечения прямых L1 и L2 , следовательно, её координаты находятся из системы уравнений:

После нахождения решения системы мы обнаруживаем, что точка А расположена в позиции (30; 15), где максимальное значение целевой функции f_max составляет 2250.

f = 45*30 + 60*15 = 2250

4. Аналитическое решение (симплекс-метод)

Применим для решения данной задачи метод последовательного улучшения плана (симплекс-метод). Этот универсальный математический инструмент, в отличие от графического способа, способен эффективно обрабатывать модели с любым количеством переменных. Запишем исходную систему ограничений в канонической форме, введя дополнительные переменные x₃, x₄, x₅:

– 45x₁ – 60x₂ = – f min

Решение получено за два шага:

–15x₁+10x₃ = 1800 – f min

9x₃ + 3x₄ = 2250 – f

Оптимальное решение: x₁ =30, x₂ =15, x₅ =7. Значения переменных x₃, x₄, x₅ показывают остатки соответствующих ресурсов.

5.Анализ на чувствительность. Определение дефицитных ресурсов и

нахождение их теневых цен

Анализ задачи двумя методами (графическим и симплекс-методом) выявил полное использование ресурсов S1 и S2, что подтверждает их дефицитный характер. Определим теневые цены для этих ресурсов, чтобы понять, как изменится целевая функция при увеличении их количества на единицу.

Анализ графического решения показывает, что объем ресурса S1 может быть скорректирован без влияния на оптимальность решения. При параллельном смещении линии L1 (см. рис.1) допустимый диапазон изменения ресурса определяется двумя точками: B (35; 0) для минимального значения и C (0; 105) для максимального. На основе полученных данных произведем расчет теневой цены Р1:

Аналогично, ресурс S2 изменяется от точки D (0; 30) до точки F (60;0).

Теневая цена этого ресурса P2:

6. Решение задачи в Microsoft Excel с помощью надстройки «Поиск

решения»

При расчете задачи линейного программирования в Excel с помощью надстройки “Поиск решения” отчет по результатам предоставляет следующую информацию:

Оптимальное решение задачи:

• Значения переменных (в влияющих ячейках)

• Значение целевой функции

• Выполнение всех заданных ограничений

Microsoft Excel 12.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Курсовая №1.xlsx]Лист1
Отчет создан: 01.03.2025 10:08:17
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$D$53	доход	0	2250
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$53	запасы	0	30
	$C$53	запасы	0	15
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$D$47	L1	180	$D$47<=$E$47	связанное	0
	$D$48	L2	210	$D$48<=$E$48	связанное	0
	$D$49	L3	105	$D$49<=$E$49	не связан.	7
	$B$53	запасы	30	$B$53>=0	не связан.	30
	$C$53	запасы	15	$C$53>=0	не связан.	15

Отчет по устойчивости в Excel при решении задач линейного программирования предоставляет важную информацию о чувствительности целевой функции к изменениям ограничений и переменных.

Отчет состоит из двух основных разделов:

1)Раздел для изменяемых ячеек:

• Показывает, как изменение значений переменных влияет на оптимальное решение

• Демонстрирует чувствительность целевой функции к изменениям в переменных

2)Раздел для ограничений:

• Отображает влияние изменений в ограничениях на оптимальное решение

• Показывает, насколько система устойчива к отклонениям в ограничениях

Microsoft Excel 12.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Курсовая №1.xlsx]Лист1
Отчет создан: 01.03.2025 10:08:17
Изменяемые ячейки
			Результ.		Нормир.		Целевой		Допустимое		Допустимое
	Ячейка	Имя	значение		стоимость		Коэффициент		Увеличение		Уменьшение
	$B$53	запасы	30		0		45		135		15
	$C$53	запасы	15		0		60		30		45
Ограничения
			Результ.		Теневая		Ограничение		Допустимое		Допустимое
	Ячейка	Имя	значение		Цена		Правая часть		Увеличение		Уменьшение
	$D$47	L1	180		9		180		15		75
	$D$48	L2	210		3		210		70		150
	$D$49	L3	105		0		112		1E+30		7