2. Проверка значимости линейной модели

Линейная регрессионная модель называется значимой, если гипотеза отклоняется.

Проверим данную гипотезу. Если гипотеза верна, то статистика F имеет распределение Фишера с и степенями свободы, где n – число наблюдений, k – число параметров модели. Гипотеза 𝐻₀ принимается на уровне значимости α, если вычисленное значение F меньше квантили распределения Фишера порядка В этом случае, говорят, что регрессионная модель незначима.

Вычисляем значение статистики F и коэффициент детерминации 𝑅².

𝑅² = 0,1; .

Задали уровень значимости α = 0,05. По таблице нашли квантиль распределения Фишера = 4. Квантиль распределения Фишера меньше вычисленного значения статистики ( ). Следовательно, гипотеза 𝐻₀ отклоняется, и наша модель значима.

3. Проверка линейной модели на адекватность

Линейная регрессионная модель называется адекватной, если предсказанные по ней значения зависимой переменной согласуются с результатами наблюдений.

Для проверки адекватности полученной модели необходимо найти остатки 𝑒_𝑖, где , где n – число наблюдений. Для адекватности модели должны выполняться следующие условия:

1. 𝐷[𝑒_𝑖] = 𝜎² = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, дисперсия остатков постоянна;

2. 𝑐𝑜𝑣 (𝑒_𝑖, 𝑒_𝑗) = 0, 𝑖 ≠ 𝑗, остатки не коррелированы;

3. 𝑒_𝑖 ~ 𝑁 (0, 𝜎²), остатки имеют нормальное распределение,

где e_i – остатки, i = 1, 2, …n, n – число наблюдений

Для адекватной модели дисперсии ошибок наблюдений должны быть постоянны для всех наблюдений. Если все остатки укладываются в симметричную относительно нулевой линии полосу, то дисперсию ошибок наблюдений можно считать постоянной.

График 3. График остатков

В нашем случае остатки не укладываются в симметричную относительно нулевой линии полосу шириной ± 3S. Значит, дисперсия остатков постоянной не является.

2. Проверим гипотезу H₀ о некоррелированности остатков (т.е. ) по критерию Дарбина-Уотсона. В качестве альтернативной выберем гипотезу Н₁: . Рассчитаем статистику по формуле: сравним ее с табличным значением Получаем неравенство . Из этого следует, что гипотеза Н₁ отклоняется, а гипотеза H₀ о некоррелированности остатков принимается.

3. Проверим гипотезу о нормальном распределении остатков с помощью вероятностной бумаги. При нанесении накопленных частот нормального распределения, выраженных в процентах, получается прямая линия специального графика. График представлен ниже.

График 4. График остатков на вероятностной бумаге

Точки не расположены на прямой, из чего можно сделать вывод, что остатки не распределены по нормальному закону.

Следовательно, полученная линейная регрессионная модель не адекватна результатам наблюдений и может использоваться только для выведения общей тенденции рассматриваемого временного ряда.

4. Анализ автокорреляционной функции

При наличии во временном ряду тенденции и циклических изменений значения последующего уровня временного ряда зависят от предыдущих. Зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно её можно измерить с помощью индекса корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Для проверки наличия тенденции и сезонной составляющей ряда проводим анализ автокорреляционной функции.

,

где

Величина k, определяющая временной интервал между случайными величинами и для которых вычисляется коэффициент корреляции 𝜌_𝑘, называется лагом. Значения представлены в таблице 2 и рисунке 5.

Таблица 2. Значения автокорреляционной функции

Лаг	Значения автокорреляционной функции
1	0,652
2	0,198
3	-0,016
4	-0,205
5	-0,448
6	-0,492
7	-0,411
8	-0,181
9	-0,017
10	0,194
11	0,645
12	0,990

График 5. Значения автокорреляционной функции

Согласно автокорреляционной функции, сезонные колебания могут происходить с периодом в 12 месяцев (т.к. наибольшее значение – при лаге 12, равно 0,99).