Интерполяция методом ньютона
Составим программу для нахождения полинома Ньютона N – 1 = 3, поскольку имеется N = 4 точек (программа приведена в Приложении).
Построим график полученной функции, являющейся результатом интерполяции методом Ньютона.
Рисунок 7. Интерполяция методом Ньютона.
Проверим качество решения путем вычисления абсолютной и относительной погрешностей.
В точке x0 = 2.995:
В точке x0 = 2.999:
В точку х0 = 2.99955:
Из полученных значений погрешностей можно наблюдать, что необходимая погрешность достигается в точках, которые наиболее близко расположены к точкам, заданным исходной таблицей. Незначительное отклонение от этих точек, влечет увеличение погрешности, поскольку первоначально была проведена линейная интерполяция, а интерполяция методом Ньютона осуществляется на основе полинома 3-ей степени. Кроме того, полученные значения погрешностей близки значениям погрешностей, полученным при помощи интерполяции методом Лагранжа, что является ожидаемым результатом, поскольку эти методы в определенных случаях считаются взаимозаменяемыми.
При помощи встроенной функции MatchCad predict, выполним экстраполяцию на два шага вперед для интерполированной методом Ньютона функции.
Рисунок8. Экстраполяция на два шага вперед для интерполированной методом Ньютона функции.
Проверим качество экстраполяции, сравнив прогноз для интерполированной функции с прогнозом, полученным в пункте 1.
Оценка экстраполяции на один шаг вперед при помощи вычисления абсолютной и относительной погрешностей:
Оценка экстраполяции на два шага вперед при помощи вычисления абсолютной и относительной погрешностей:
Как видно из полученных значений, значения погрешностей большие и практически совпадают со значениями, полученными при экстраполяции функции, полученной при помощи интерполяции методом Лагранжа и решения СЛАУ. Поскольку методы Лагранжа и Ньютона в определенных случаях считаются взаимозаменяемыми, новые выводы о качестве экстраполяции сделать нельзя.
Интерполяция сплайнами
Создадим векторы: vsl – вектор коэффициентов кривой, которая приближается к прямой линии в предельных точках, vsp - вектор коэффициентов кривой, которая приближается к квадратичной параболе в предельных точках, vsc - вектор коэффициентов кривой, которая приближается к кубической параболе в предельных точках.
Построим общий сравнительный график полученных функции, каждая из которых является результатом интерполирования сплайнами.
Рисунок 9. Интерполяция сплайнами.
Проверим качество решения путем вычисления абсолютной и относительной погрешностей.
Для линейного сплайна:
В точке x0 = 2.995:
В точке x0 = 2.999:
В точке x0 = 2.99955:
Из полученных значений погрешностей можно наблюдать, что необходимая погрешность достигается в точках, которые наиболее близко расположены к точкам, заданным исходной таблицей. Наилучшую точность показал линейный сплайн.
При помощи встроенной функции MatchCad predict, выполним экстраполяцию на два шага вперед для интерполированных сплайнами функций.
Рисунок 10. Экстраполяция на два шага вперед для интерполированной линейным сплайном функции.
Проверим качество экстраполяции, сравнив прогноз для интерполированной функции с прогнозом, полученным в пункте 1.
Оценка экстраполяции на один шаг вперед при помощи вычисления абсолютной и относительной погрешностей.
Оценка экстраполяции на два шага вперед при помощи вычисления абсолютной и относительной погрешностей:
Как видно из полученных значений, значения погрешностей при экстраполяции для кубического сплайна практически совпадают со всеми предыдущими методами, в то время как погрешность для линейного сплайна минимальна. Для параболического сплайна можем наблюдать среднее значения погрешностей между линейным и кубическим сплайнами. Таким образом, можно сделать вывод, что линейный сплайн наиболее точно отображает вид и характер прогнозируемой функции при экстраполяции.