Интерполяция с помощью решения слау
Составим полином степени N – 1 = 3, поскольку имеется N = 4 точек.
Полагая
получим
СЛАУ:
Для решения методом Крамера вычислим определитель Вандермонда
При помощи написанной программы (код
приведен в Приложении), найдем неизвестные
коэффициенты
Оценка точности решения:
Таким образом, результатом интерполяции будет являться следующий полином 3-ей степени:
Построим график полученной функции, являющейся результатом интерполяции.
Рисунок 3. Интерполяция методом решения СЛАУ.
Проверим качество решения путем вычисления абсолютной и относительной погрешностей.
В точке x0 = 2.995:
В точке x0 = 2.999:
В точке x0 = 2.99955
Из полученных значений погрешностей можно наблюдать, что необходимая погрешность достигается в точках, которые наиболее близко расположены к точкам, заданным исходной таблицей. Чем дальше от этих точек, тем больше погрешность, поскольку первоначально была проведена линейная интерполяция, а интерполяция методом решения СЛАУ осуществляется на основе полинома 3-ей степени.
При помощи встроенной функции MatchCad predict, выполним экстраполяцию на два шага вперед для интерполированной при помощи решения СЛАУ функции.
Рисунок 4. Экстраполяция на два шага вперед для интерполированной при помощи решения СЛАУ функции.
Проверим качество экстраполяции, сравнив прогноз для интерполированной функции с прогнозом, полученным в пункте 1.
Оценка экстраполяции на один шаг вперед при помощи вычисления абсолютной и относительной погрешностей:
Оценка экстраполяции на два шага вперед при помощи вычисления абсолютной и относительной погрешностей:
Как видно из полученных значений, значения погрешностей большие, что пока не позволяет нам делать выводы о том, какой из прогнозов наиболее адекватен. Чем больше шагов экстраполяции, тем больше абсолютная погрешность, однако относительная погрешность при этом уменьшается.
Интерполяция методом лагранжа
Составим формулу полинома степени N-1=3, поскольку имеется N=4 точек.
При помощи данной формулы построим график полученной функции, являющейся результатом интерполяции методом Лагранжа.
Рисунок 5. Интерполяция методом Лагранжа.
Проверим качество решения путем вычисления абсолютной и относительной погрешностей.
В точке x0 = 2.995:
В точке x0 = 2.999:
В точке х0 = 2.99955:
Из полученных значений погрешностей можно наблюдать, что необходимая погрешность достигается в точках, которые наиболее близко расположены к точкам, заданным исходной таблицей. Незначительное отклонение от этих точек, влечет увеличение погрешности, поскольку первоначально была проведена линейная интерполяция, а интерполяция методом Лагранжа осуществляется на основе полинома 3-ей степени.
При помощи встроенной функции MatchCadpredict, выполним экстраполяцию на два шага вперед для интерполированной методом Лагранжа функции.
Рисунок 6. Экстраполяция на два шага вперед для интерполированной методом Лагранжа функции.
Проверим качество экстраполяции, сравнив прогноз для интерполированной функции с прогнозом, полученным в пункте 1.
Оценка экстраполяции на один шаг вперед при помощи вычисления абсолютной и относительной погрешностей:
Оценка экстраполяции на два шага вперед при помощи вычисления абсолютной и относительной погрешностей:
Как видно из полученных значений, значения погрешностей большие и практически совпадают со значениями, полученными при экстраполяции функции, полученной при помощи решения СЛАУ, что позволяет сделать предварительный вывод о том, что экстраполяция функций, интерполированных полиномами точнее, чем экстраполяция в случае линейной интерполяции. Чем больше шагов экстраполяции, тем больше абсолютная погрешность, однако относительная погрешность при этом уменьшается.