лекции по физике / Лекция 22

Лекция 22.

ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ.

22.1.Частица в одномерной потенциальной яме.

Отыскание собственных значений энергии и собственных волновых функций представляет собой весьма трудную математическую задачу. Рассмотрим пример, достаточно простой, чтобы уравнение Шредингера решалось без особого труда. Исследуем поведение частицы, (например электрона) в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Будем считать, что частица может двигаться только вдоль оси x (рис. 22.1). Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: x=0 и x=l.

Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующие значения:

Поскольку функция  зависит только от координаты, стационарное уравнение

Рис 22.1 Шредингера будет иметь вид:

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу за пределами ямы равна нулю. Следовательно и волновая функция за пределами ямы = 0, т.е. при х<0, x>l _(x)=0 (22.1). Далее из условия непрерывности следует, что  должна быть равна нулю и на границах ямы

(0) = 0

( l) = 0 (22.2)

Решение стационарного уравнения Шредингера, имеющие физический смысл,должны удовлетворять условиям (22.1.) и (22.2.)

Внутри ямы U=0 и уравнение Шредингера принимает вид: . Обозначая , получим уравнение:

.

Его решение: (x)= sin (_x+). Условия (22.1.) и (22.2) удовлетворяются соответствующим выбором постоянных  и .

Из условия (0)=0, sin  =0, =0, а

из условия (l) =0, (l)=a sin l=0, (22.3)

что возможно при l=n; n=1, 2, 3…(n=0 отпадает, т.к. тогда 0 и частица нигде не находится). Отсюда получается, что решения уравнения Шредингера будут иметь физический смысл не при всех значениях энергии Е, а только при значениях, удовлетворяющих соотношению:

.

Таким образом, из уравнения Шредингера, не прибегая ни к каким дополнительным предположениям (как это пришлось делать Бору), получено квантование энергии частицы и найдены собственные значения этой энергии:

(22.4)

Схема энергетических уровней изображена на рис.22.2. Расстояние между уровнями определяется массой m и шириной ямы l; а n = 1, 2, 3 - главное квантовое число.

Оценим расстояния между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы l. Разность энергий двух соседних уровней равна:

Рис. 22.2

Пример 1. Газ в сосуде. Масса молекулы m10^-23 г, размер сосуда l = 10см. Вычисляя, получим _n  10^-20n эВ.

Пример 2. Электроны проводимости в металле. m10^-27 г, l = 10см. Здесь _n 10^-16n эВ. В обоих случаях энергетические уровни расположены очень густо и будут восприниматься как сплошной непрерывный спектр значений энергии.

Пример 3. Электрон находится в яме, размеры которой соизмеримы с атомными, т.е. m 10^-27 г, l=10^-8см. _n 10² n эВ. Дискретность энергетических уровней проявляется весьма заметно. Энергия в этом случае квантуется.

Учитывая (22.3), получим собственные волновые функции

Коэффициент а находим из условия нормировки, которое записывается в виде

Вычисляя интеграл получим, что a² = и a =

т.о. собственные функции имеют вид

(22.5)

Рис. 22.3(а) Рис. 22.3(б)

Графики собственных функций (22.5) соответствующие уровням энергии E при n =1,2,3 приведены на рис. 22.3, а на рис.22.3, б

изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная /_n(x)/² или ^*. Из рис. 22.3, б видно, что в состоянии с n =2, частица не может находиться в середине ямы, но одинаково часто находится в правой или левой половине ямы. Такое поведение частицы несовместимо с понятием траектории, т.е. в квантовой механике это понятие несостоятельно.

Из представлений квантовой механики следует, что частица в потенциальной яме имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Это специфическое квантовое явление - туннельный эффект, т.е. микрообъект может "пройти" сквозь потенциальный барьер.

22.2. Атом водорода в квантовой механике. Квантовые числа.

Строение атома и его излучение до создания квантовой механики объяснялись на основе теории Бора. Для объяснения устройства водородоподобного атома были сформулированы постулаты Бора, выведены сериальные формулы, проведены опыты Франка и Герца.

В квантовой механике задача об энергетических уровня ической физики (принцип соответствия Бора ).

Как уже говорилось, состояние электрона описывается уравнением Шредингера

=0,

где U(r) = -, а Ze² - заряд ядра, r - расстояние электрона до ядра. Решая это уравнение для атома водорода, т.е. определяя собственные волновые функции, определим, что они в отличие от одномерной задачи, содержат не одно, а три квантовых числа. Как и для частицы в яме, в атоме должны быть дискретные энергетические уровни. Каждому уровню соответствует целое главное квантовое число n=1, 2, 3 ... Главное квантовое число определяет энергетические уровни электрона и принимает значения от 1 до .

Момент импульса электрона в атоме ( орбитальный момент ), тоже квантованная величина, определяется формулой

(22.6.),

где- орбитальное квантовое число. При заданном n оно принимает значения =0, 1, 2, 3 ... (n - 1), т. е. всего n значений. От зависит форма электронной оболочки, оно определяет момент импульса электрона в атоме.

Вектор момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_ez на направление Z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные

L_ez =m (22.7)

Здесь m - магнитное квантовое число, при данном оно принимает значения m=0, 1, 2… , т. е. всего (2+1) значений. Отметим, что магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление.